椭圆3x2+7y2=21上有一点P到两个焦点的连线互相垂直,则P点的坐标是

椭圆3x2+7y2=21上有一点P到两个焦点的连线互相垂直,则P点的坐标是

解：椭圆方程3x²+7y²=21
x²/7+y²/3=1
a²=7,a=√7
b²=3,b=√3
c²=a²-b²=7-3=4
c=2
设点P（√7cosa，√3sina）
(√7cosa-0)/(√3sina+2)*(√7cosa-0)/(√3sina-2)=-1
7cos²a=-3sin²a+4
7cos²a+3sin²a=4
4cos²a+3=4
cos²a=1/4
cosa=1/2或-1/2
sina=√3/2
a∈[0,180°]
所以点P坐标（√7/2，3/2）或（-√7/2，-3/2）

分析，
椭圆的方程为：
x²/7+y²/3=1
∴c=2
设F1=(-2,0)，F2(2,0)
PF1+PF2=2a=2√7
F1F2=4
又，PF1⊥PF2
利用勾股定理，
F1F2²=PF1²+PF2²=16
解出，PF1=√7-1,PF2=√7+1，或PF1=√7+1,PF2=√7-1
设P(m,n)
根据面积相等，
PF1*PF2=F1*F2*|n|=6
∴|n|=3/2
代人椭圆的方程求出|m|=√7/2
因此，P点的坐标为：(√7/2,3/2)，(√7/2,-3/2)，(-√7/2,3/2)，(-√7/2,-3/2)

椭圆方程化为 x^2/7+y^2/3=1 ，（1）
a^2=7 ，b^2=3 ，所以 c^2=4 ，
则焦点为F1（-2，0），F2（2，0），
设 P（x，y），
则 |PF1|^2=(x+2)^2+y^2 ，|PF2|^2=(x-2)^2+y^2 ，
因为 PF1丄PF2 ，
所以由勾股定理得 |PF1|^2+|PF2|^2=4c^2 ，
即 2(x^2+4+y^2)=16 ，（2）
由（1）（2）解得 x^2=7/4 ，y^2=9/4 ，
因此，P 的坐标为（√7/2，3/2）或（-√7/2，3/2）或（-√7/2，-3/2）或（√7/2，-3/2）。