高等代数 线性变换A^2=E,证明A可对角化

高等代数 线性变换A^2=E,证明A可对角化

只需证明A的特征向量中能够选出n为向量空间的一组基：（不妨设A是n行n列的）首先设λ是A的特征值,那么λ^2是A^2的特征值,∴(A^2)ξ=λ^2*ξ=Eξ=ξ∴λ^2=1∴λ=±1∴A只有特征根±1先找到1所对应的一组线性无关向量特征向量：就是满足：Aξ=ξ的一组线性无关向量也就是(A-E)ξ=0很显然解空间的维数是：n1=n-rank(A-E)∴可以从中选出n1个线性无关的特征向量.在考虑以-1为特征根的特征向量：也就是Aξ=-ξ∴(A+E)ξ=0显然解空间的维数是：n2=n-rank(A+E)∴可以从中选出n2个线性无关的向量.现在n1+n2=2n-rank(A+E)-rank(A-E)现在只需要证明：rank(A+E)+rank(A-E)=n这一步的证明并不难：先证明rank(A+E)+rank(A-E)≥n这是因为A^2=E∴detA=±1∴A可逆∴rankA=n而又∵rankA+rankB≥rank(A|B)≥rank(A+B)∴rank(A+E)+rank(A-E)≥rank2A=rankA=n再证明rank(A+E)+rank(A-E)≤n∵(A+E)(A-E)=A^2-E^2=0∴A-E的列空间是(A+E)X=0的解空间的子空间又∵A+E的解空间的维数是n-rank(A+E)∴rank(A-E)≤n-rank(A+E)∴rank(A-E)+rank(A+E)≤n综上所述：rank(A+E)+rank(A-E)=n∴n1+n2=n∴n维线性空间有一组A的特征向量组成的基.∴A可对角化显然去上面的满足Aξ=ξ的n1个线性无关向量,取Aξ=-ξ的n2个线性无关向量加起来总共n个,将他们以列向量的形式排成一个n阶方阵T,∵其列秩为n∴可逆∴T^(-1)AT=diag(1,1,…,-1,-1)======以下答案可供参考======供参考答案1:A有零化多项式f(λ)=λ^2-1，又f(λ)与f(λ)的导数互素，则f(λ)无重根，故可相似对角化供参考答案2:楼上的好麻烦。。。其实很简单，因为A^2=E,从而A^2-E=O，从而A的最小多项式为x^2-1，它没有重根，所以可对角化。

哦，回答的不错