已知M是圆O:x²+y²=a²上任意一点,M在x轴上的射影为N,在线段OM上取点P,使得|OP|=|MN|

已知M是圆O:x²+y²=a²上任意一点,M在x轴上的射影为N,在线段OM上取点P,使得|OP|=|MN|,求点P的轨迹方程

郭敦顒回答：
点P的轨迹方程是⊙Q：x²+（y±a/2）²=a²/4。
证明
OM交⊙Q于T，设∠MON=θ，则∠TQO=2θ
MN=a•sinθ，OT/2=（a/2）sinθ，∴OT=a•sinθ
∴OT=MN，∵OP=MN，∴OT=OP，T重合于P，点P即点T，
∴符合条件的点在所给轨迹上；
反之亦然，所给轨迹上的点均符合条件，详证略。
Q点坐标：Q1（0，a/2），Q2（0，－a/2）。
图略。

（1）由勾股定理得：|po|2=r2+|pa|2，半径r=1，所以要求|pa|最小，就是求|po|最短， 而|po|最短时，op垂直于直线2x+y-3=0，所以最短|op|=|0+0-3|4+1=35， 所以|pa|2=|po|2-r2=45 即|pa|最小时，|pa|=255 直线2x+y-3=0的斜率是k=-2，则po的斜率是k'=12，所以op方程是y=x2 将方程y=x2与直线2x+y-3=0联立，解得：x=65，故有y=35，即点p坐标是（65，35）； （2）由直线y=x与直线l：2x+y-3=0联立，可得交点坐标m（1，1），设q（m，n），n（x，y） 则qnqm=(x-m)2+(y-n)2(m-1)2+(n-1)2=λ（λ≠1） ∴m（2λ-2x）+n（2λ-2y）+x2+y2-3λ+1=0 ∵对于圆 o上任意一点q，都有qnqm为一常数， ∴2λ-2x=02λ-2y=0x2+y2-3λ+1=0，解得x=y=λ=12， ∴n（12，12）