用尺规能三等分任意角吗?

能的话,请赐教

不行的

有数学家证明过

楼上的太敷衍了随便粘贴的

虽在利用代数计算下也能算出任意一角的三分之一，只因我们都把代数计算的过程放在证明三等分任意角无解上，使得尺规三等分任意角的破解至今都无任何进展。

　　1. 论证尺规二等分任意角的作图步骤

　　为方便讲解，先在下面列出完整的尺规二等分任意角作图步骤：

　　已知∠A

　　① 以顶点A为圆心，取一边的适当长度做半径画弧，交于两边得到弧BC。

　　② 分别以点B、C为圆心，取大于弧BC一半的长度画弧，两弧相交得到点D、E。

　　③ 最后连接AE，则AE二等分∠A。

　　短短的三步尺规二等分任意角作图步骤中，便得以联想到尺规三等分任意角的可能性：

　　I 在步骤①中，画出弧BC后到最后的结果，可以普遍地看出最后解出的二等分线AE是在二等分∠A，也是在二等分了弧BC。然而在教科书中都忽略了这个二等分线AE其实也是在二等分弧BC的两个端点所形成的线段BC。

　　这里利用“共性思想”联想到：既然尺规二等分任意角只要二等分弧BC的两个端点的连接线段便可以实现二等分∠A，那尺规三等分该连接线段便可实现三等分∠A。

　　II 在步骤②中，需要“取大于弧BC一半的长度画弧”，而二等分任意线段的尺规作图中也有与此一致的步骤。而 “大于弧BC一半的长度”我们并不清楚它位于何处，由于尺规作图中并不存在肉眼判断，所以只能利用点与点作距离画弧求出另一点，或利用点与点画线得出一直线。

　　在经过多次实践后发现：直接取该弧的两个端点的等长距离画弧，最后将该已知角的顶点与得出的交点进行连接并延长后，同样也能二等分该已知角（如图1）。由此便可得出：二等分该弧的两个端点连接而成的线段所求得的点与该已知角顶点相连并无限延长后的射线便是该已知角的平分线（如图2）。

　　2.新解尺规三等分任意线段

　　由于尺规三等分任意线段暂时还是未解，接下来就必须得先从已知长度的线段的三等分的连接线段中去发现尺规三等分任意线段的作图规律了。

　　尺规作图：

　　已知线段AD，设该线段长度为3cm，则AB、BC、CD各为1cm。

　　① 以A点为圆心，AD为半径垂直画弧，得出交点E、F；并连接AE、EB、EF，得到等边三角形ADE和线段AD的中心点G与平分线EF。

　　接下来按以下步骤将该等边三角形的两腰的1cm求出来并连线：

　　② 分别以A、G、D点为圆心，AG为半径垂直画弧；分别得出线段AE、DE中心点H、I，三弧相交得出点J、K；并分别连接HI、HJ、IK，得出两条相互平行且垂直于HI的线段HJ与线段IK。

　　③ 分别以A、D点为圆心，AB为半径垂直画弧；分别交AE、DE得到点L、M并连接。

　　④ 再分别以L、M点为圆心，AH为半径画弧；分别交AE、DE得到点N、O并连接。

　　⑤ 分别连接AI、DH，得到等边三角形ADE的两条中心平分线AI、DH与中心点P。

　　由上所述步骤中不难发现:该等边三角形腰的三分之一点就是点L，三分之一线段便是线段LM，而LM又是过中心点P平行于AD的线段。那么只要求出“既能平行该等边三角形的底边又能过该等边三角形中心点的线段”便能够完全破解尺规三等分任意一线段了。

　　在步骤5中，线段AI、DH是等边三角形ADE的两条中心平分线，则∠HPA与∠IPD为对顶角；又线段LM是过中心点P平行于等边三角形ADE的底边AD的，则线段LM平分∠HPA与∠IPD。所以线段QS、SH与线段RT、TI相等（平分线上的任意一点到两边的距离相等）。

　　⑥ 分别以点H、Q为圆心，各以HQ为半径水平画弧；两弧相交得出点U与点P。（如图3）

　　如此一来，便完全破解了尺规三等分任意已知线段（经过多次实验，这套作图法可用在任何未知长度的已知线段上）。

　　3.实现尺规三等分任意角

　　上述尺规作图法可以完全三等分任意已知线段，却不能真正地尺规三等分任意已知角。

　　原来，在最初的尺规二等分任意角中忽略了一步最有帮助的步骤：由图2中，可以看出所得的平分点与顶点的连线是和弧BC的两个端点B、C的连接线段垂直的，而且这条垂直于线段BC的射线与弧BC是有交点的，只是这条垂直射线刚好是该已知角与弧BC的平分线，又是弧BC与线段BC的中点，如此巧合的两点让我们在做二等分时都忽略了这个交点，而这个交点在做尺规三等分任意已知角时是至关重要的一点。也就是说：如果等分线过等分点垂直于被等分线段且交于该被等分线段的两端点形成的弧，那么该垂直线与该弧的交点则为该已知角的等分点。

　　最终，使用上述的结论与尺规作图方法进行作图后，发现上述作图法还是只能用在一些似为特殊角的已知角上，而大部分的角都不能完全三等分。后经长期且大量作图实践发现：尺规二等分任意未知度数的已知角的作图法能做到一套作图方法任意角都可用，而尺规三等分任意未知度数的已知角却要一套作图方法分为五种特殊角来解。

　　3.1尺规三等分任意已知角主要分为以下5种情况：

　　1. 小于等于45°的锐角

　　2. 大于45°又小于等于90°的直角或锐角

　　3. 大于90°又小于等于180°的平角或钝角

　　4. 大于180°又小于等于270°的钝角

　　5. 大于270°又小于等于360°的钝角

　　下面只列出锐角与纯角交界的“大于90°又小于等于180°的平角或钝角”的作图方法及说明：

　　尺规作图：

　　已知锐角∠B。（为便于讲解与令此作图法更具说服力，下面直接引用已知角度为90°的直角来说明尺规三等分任意未知度数的已知角的作图方法。）

　　① 以B点为圆心，取BC边上适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、D。

　　② 分别以点D、E为圆心，各以DE为半径，相交得出F点；并连接BF交弧DE于G点。

　　③ 分别以点D、G为圆心，各以DG为半径，相交得出点H、I。

　　④ 分别连接DG、GH、HD得出等边△DGH；再连接HI交DG于点J。

　　⑤ 分别以点D、J、G为圆心，各以DJ为半径画弧；三弧分别交HG、HD于点K、L与点M、N，并分别连接KL、MN垂直于DG。

　　⑥ 分别连接DK、GM交MN、KL于点O、P且得到等边△DGH的中心点Q。

　　⑦ 分别以点M、O为圆心，各以MO为半径画弧，两弧相交得出R，且连接RQ延长交GH于S点，交DH于T点且TS平行于DG。（如图4）

　　这套尺规三等分任意未知度数的已知角作图法只能用在小于等于45°的锐角，在作大于45°（不包括45°）的锐角或钝角的三等分时，就得先将该角进行二等分，使其二等分后的角成为小于等于45°的角后再使用上面的尺规三等分的方法进行作图。

　　⑧ 分别以点D、G为圆心，各以DT为半径画弧，分别交DG于点U、V上；再分别以点M、K为圆心，各以MT为半径画弧，分别交DH、GH于点W、X上。

　　⑨ 直接连接XV并延长交弧DG于Z点，再以弧GZ为半径画弧，交弧EG于点Y，分别连接BY、BZ，最终点Y、Z为∠ABC的平分点了。（如图5）

　　在此只需按以下方法便可判定一个未知度数的已知角为小于等于45°角：以该弧两端点的连接线段为半径，各以这两端点为圆心画弧；最后如果靠近该角顶点的两弧的交点于该角的顶点之外也就是该角不包含此交点时，则该角为大于45°的锐角或纯角，反则为小于等于45°的锐角（如图6中两弧交点B于∠A之外，因此该角便是大于45°的锐角或纯角；而图7中两弧交点B于∠A之内，因此该角则为小于等于45°的锐角）。

　　最终得出规律：小于等于45°的锐角只需于原角上直接三等分便可；而小于等于90°的直角或锐角只需要在其中一个平分角内三等分；又小于等于180°的钝角则需要在两个包含着4/12的平分角中进行三等分；后小于等于270°的钝角则是在两个包含着8/24的平分角中进行三等分；最终小于等于360°的钝角则也是在两个包含着8/24的平分角中进行三等分。