已知数列｛an｝、｛bn｝、｛cn｝的通项公式满足bn=an+1-an，cn=bn+1-bn（n∈N+），若数列｛bn｝是一个非零常数列，则称数列｛an｝是一阶等差数

已知数列｛an｝、｛bn｝、｛cn｝的通项公式满足bn=an+1-an，cn=bn+1-bn（n∈N+），若数列｛bn｝是一个非零常数列，则称数列｛an｝是一阶等差数列；若数列｛cn｝是一个非零常数列，则称数列｛an｝是二阶等差数列（1）试写出满足条件a1＝1,b1=1，cn=1（n∈N+）的二阶等差数列｛an｝的前五项；（2）求满足条件(1)的二阶等差数列｛an｝的通项公式an；（3）若数列｛an｝首项a1＝2，且满足cn-bn+1+3an＝-2n+1（n∈N+），求数列｛an｝的通项公式

（1）a1=1，a2=2，a3=4，a4=7，a5=11（2）an＝(n2-n+2)/2（3）an=4n-2n解析 （1）a1=1，a2=2，a3=4，a4=7，a5=11
（2）依题意bn+1-bn=cn=1，n=1，2，3，…
所以bn=（bn-bn-1）＋（bn-1-bn-2）＋（bn-2-bn-3）＋…+（b2-b1）+b1=1+1+1+…+1=n
又an+1-an=bn＝n，n=1，2，3，…所以an＝（an-an-1）＋（an-1-an-2）＋（an-2-an-3）＋…+（a2-a1）＋a１
=（n-1）+（n-2）+…+2+1+1=n（n-1）/2+1=(n2-n+2)/2
（3）由已知cn-bn+1＋3an= -2n+1，可得bn+1-bn-bn+1+3an＝-2n+1，即bn-3an=2n+1，∴an+1=4an+2n+1．
解法一：整理得：an+1＋2n+1=4（an+2n），
因而数列｛an+2n｝是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，
∴an+2n＝4·4n-1＝4n，即an=4n-2n
解法二：在等式an+1＝4an+2n+1两边同时除以2n+1得：an+1/2n+1=2·an/2n＋１
令kn=an/2n，则kn+1＝2kn+1，即kn+1＋１＝2（kn+1）
故数列｛kn+1｝是首项为2，公比为2的等比数列所以kn+1=2·2n-1＝2n，即kn=2n-1．
∴an=2nkn=2n（2n-1）=4n-2n
解法三：∵a１＝2，∴a2＝12＝2２×（2２-1），a3＝56＝2３×（2３-1），a4＝32＝2４×（2４-1）
猜想：an=2n（2n-1）＝4n-2n
下面用数学归纳法证明如下：（i）当n=1时，a１＝2＝4-2，猜想成立；
（ii）假设n=k时，猜想成立，即ak=4k-2k．那么当n=k+1时，ak+1＝4ak+2k+1＝4（4k-2k）＋2k+1=4k+1-2k+1，结论也成立∴由（i）、（ii）可知，an=4n-2n

和我的回答一样，看来我也对了