a,b,c是△ABC的三边且a≠c，x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有一非零公共根判断△的形状
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解决时间 2021-04-02 02:58
- 提问者网友：战皆罪
- 2021-04-01 03:59
a,b,c是△ABC的三边且a≠c，x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有一非零公共根判断△的形状
最佳答案
- 五星知识达人网友：長槍戰八方
- 2021-04-01 05:12
设 方程 x²+2ax+b²=0 的跟为 x1 ，x2
方程 x²+2ax+b²=0 的跟为 x2 ，x3
x2 为上两个 方程的非零公共根
所以 由韦达定理 得
x1 + x2 = -2a ——————（1），
x1*x2 = b^2 ————————（2）
x2 + x3 = -2c ————————（3），
x2*x3 = -b^2 ————————（4）
由（1）-（3）得 x1 - x3 = 2c - 2a ————————（5）
由（2）/（4）得 x1/x3 = -1
即 x1 + x3 = 0 ————————（6）
所以 由 （5）+（6）得 x1 = c - a ————————（7）
所以 x3 = a - c
将（7）式 带到 （1） 得 x2 = -a - c ——————————（8）
将（7），（8）代入 （2）得
(c - a)*(-a - c) = b^2
即 a^2 = b^2 + c^2
所以 △ABC 为直角三角形
方程 x²+2ax+b²=0 的跟为 x2 ，x3
x2 为上两个 方程的非零公共根
所以 由韦达定理 得
x1 + x2 = -2a ——————（1），
x1*x2 = b^2 ————————（2）
x2 + x3 = -2c ————————（3），
x2*x3 = -b^2 ————————（4）
由（1）-（3）得 x1 - x3 = 2c - 2a ————————（5）
由（2）/（4）得 x1/x3 = -1
即 x1 + x3 = 0 ————————（6）
所以 由 （5）+（6）得 x1 = c - a ————————（7）
所以 x3 = a - c
将（7）式 带到 （1） 得 x2 = -a - c ——————————（8）
将（7），（8）代入 （2）得
(c - a)*(-a - c) = b^2
即 a^2 = b^2 + c^2
所以 △ABC 为直角三角形
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