在三角形abc中，角ABC的对边分别为abc,已知向量m=(cos3A/2,sin3A/2),向量n=(cosA/2,sinA/2)，且满足[M+N]=根号三

解：
(1)依题意：

向量m+向量n=(cos3A/2+cosA/2，sin3A/2+sinA/2)
∵|M+N|=√3

∴｜M+N｜²=3
即(cos3A/2+cosA/2)²+(sin3A/2+sinA/2)²
=cos²3A/2+2cos3A/2cosA/2+cos²A/2+sin²3A/2+2sin3A/2sinA/2+sin²A/2
=(cos²3A/2+sin²3A/2)+(cos²A/2+sin²A/2)+2(cos3A/2cosA/2+sin3A/2sinA/2)
=1+1+2cos(3A/2-A/2)
=2+2cosA
=3
∴cosA=1/2
∴A=π/3
(2)由b+c=√3a得：
(b+c)²=3a²
∴a²=(b+c)²/3
由余弦定理得：

cosA=(b²+c²-a²)/2bc
=[b²+c²-(b+c)²/3]/2bc
=[3b²+3c²-(b²+2bc+c²)]/6bc
=(2b²-2bc+2c²)/6bc
=1/2
∴2b²-2bc+2c²=3bc
2b²-5bc+2c²=0
(b-2c)(2b-c)=0
b=2c 或 b=c/2
①当b=2c时，a²=(b+c)²/3=(2c+c)²/3=3c²
∴a²+c²=3c²+c²=4c²=b²
∴△ABC是以∠C为直角的直角三角形
②当b=c/2时，a²=(b+c)²/3=(c/2+c)²/3=3c²/4
∴a²+b²=3c²/4+c/4²=c²
∴△ABC是以∠B为直角的直角三角形

综上所述：△ABC是直角三角形

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