已知：a+b+c=abc，求证：（1-a2）（1-b2）c+（1-b2）（1-c2）a+（1-c2）（1-a2）b=4ab
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解决时间 2021-11-15 21:05
- 提问者网友：伴风望海
- 2021-11-15 04:33
已知：a+b+c=abc，求证：（1-a2）（1-b2）c+（1-b2）（1-c2）a+（1-c2）（1-a2）b=4ab
最佳答案
- 五星知识达人网友：胯下狙击手
- 2021-11-15 05:39
证明：等式左边=（1-a2-b2+a2b2）?c+（1-b2-c2+b2c2）?a+（1-c2-a2+a2c2）?b，
=（c+a+b）-ab（a+b）-bc（b+c）-ac（c+a）+abc（ab+ac+bc），
∵a+b+c=abc，
∴原式=abc-ab（abc-c）-bc（abc-a）-ac（abc-b）+abc（ab+ac+bc），
=abc-abc（ab-1+bc-1+ac-1）+abc（ab+ac+bc），
=abc+3abc=4abc．
所以（1-a2）（1-b2）c+（1-b2）（1-c2）a+（1-c2）（1-a2）b=4abc
=（c+a+b）-ab（a+b）-bc（b+c）-ac（c+a）+abc（ab+ac+bc），
∵a+b+c=abc，
∴原式=abc-ab（abc-c）-bc（abc-a）-ac（abc-b）+abc（ab+ac+bc），
=abc-abc（ab-1+bc-1+ac-1）+abc（ab+ac+bc），
=abc+3abc=4abc．
所以（1-a2）（1-b2）c+（1-b2）（1-c2）a+（1-c2）（1-a2）b=4abc
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