设a<b<c<d,证明若f在[a,c]及[b,d]上都为凸函数,则f在[a,d]上也为凸函数
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解决时间 2021-04-01 06:50
- 提问者网友：了了无期
- 2021-03-31 22:11
设a<b<c<d,证明若f在[a,c]及[b,d]上都为凸函数,则f在[a,d]上也为凸函数
最佳答案
- 五星知识达人网友：掌灯师
- 2021-03-31 22:57
如果f(c)=f(d)只要取ξ=c即可。
如果f(c)≠f(d)
由于f(x)在[a,b]上连续，所以存在最值，记最大值为f(M)最小值为f(m)
考虑连续函数F(x)=2f(x)-f(c)-f(d)
F(m)=2f(m)-f(c)-f(d)<0
F(M)=2f(M)-f(c)-f(d)>0
根据介值定理，
存在ξ∈(a,b)使得
F(ξ)=0
即2f(ξ)=f(c)+f(d)
如果f(c)≠f(d)
由于f(x)在[a,b]上连续，所以存在最值，记最大值为f(M)最小值为f(m)
考虑连续函数F(x)=2f(x)-f(c)-f(d)
F(m)=2f(m)-f(c)-f(d)<0
F(M)=2f(M)-f(c)-f(d)>0
根据介值定理，
存在ξ∈(a,b)使得
F(ξ)=0
即2f(ξ)=f(c)+f(d)
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