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数学问题~!高手来解答!

答案:1  悬赏:50  手机版
解决时间 2021-07-24 22:17
已知z是虚数,且z+1/z是实数。求证(z-1)/(z+1)是纯虚数
最佳答案

教你招捷径,用共轭复数做,利用z+1/z是实数推出z+1/z=(z+1/z的共轭复数)(我记为u好了,那个打不出来),即z+1/z=u+1/u


u*z^2+u=z+z*u^2


zu(z-u)+u-z=0


(zu-1)(z-u)=0


又z是虚数,z不能等于u,所以zu=1,就是z的模的平方是1,即z的模为1


那么,计算(z-1)/(z+1)+(u-1)/(u+1)(利用纯虚数与其共轭复数的和为0做)


=(zu-u+z-1+zu-z+u-1)/(z+1)(u+1)


=2(zu-1)/(z+1)(u+1)


又zu=1,所以原式等于0,而且z是虚数,所以z不会等于1或-1,所以综合判断,(z-1)/(z+1)是纯虚数


友情提示:请在誊抄的时候把u改为z的共轭复数的正规写法,前面第一步的依据也是根据共轭复数的基本性质来做的


楼主还有疑问的话请追问,满意的话请采纳吧!

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