学校操场边有一条小沟,沟沿是两条长150米的平行线段,沟宽 为2米,，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛

学校操场边有一条小沟,沟沿是两条长150米的平行线段,沟宽 为2米,，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛

（1） 米（2） 立方米；（3） 米

试题分析：（1）以O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，写出A，B点的坐标，利用待定系数法抛物线方程，利用水深即为水面与抛物线交点的纵坐标，代入抛物线方程求出水面与抛物线交点的横坐标，结合图知所求横坐标的2倍就是水面宽度；（2）利用定积分求出水体底面面积，再用柱体体积公式求出水体体积；（3）设出切点坐标，利用切点的导数就是切线的斜率求出切线的斜率，利用直线方程的点斜式求出切线方程，求出上下两底顶点的坐标，利用上下底顶点坐标的二倍就是梯形上下底宽算出梯形上下底的宽，将梯形面积表示为切点的横坐标的函数，利用基本不等式求出面积取最小值时对应的切点坐标，从而求出梯形的下底宽. 试题解析:（1）如图建立直角坐标系，设抛物线方程为 ． 则由抛物线过点 ，可得 ． 于是抛物线方程为 ． 当 时， ，由此知水面宽为 （米）． （2） （立方米） （3）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须同抛物线相切． 设切点 是抛物线弧 上的一点，过 作抛物线的切线得到如上图所示的直角梯形 ，则切线 的方程为： ，于是 ． 记梯形 的面积为 ，则 ， 当且仅当 ， 时，等号成立，所以改挖后的沟底宽为 米时，所挖的土最少．