已知函数f（x）=2sin（ωx+?- π 6 ）（0＜?＜π，ω＞0），（1）若函数y=f（x）图象的两相邻

已知函数f（x）=2sin（ωx+?- π 6 ）（0＜?＜π，ω＞0），（1）若函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为 π 2 ，且它的图象过（0，1）点，求函数y=f（x）的表达式；（2）将（1）中的函数y=f（x）的图象向右平移 π 6 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调递增区间；（3）若f（x）的图象在x∈（a，a+ 1 100 ）（a∈R）上至少出现一个最高点或最低点，则正整数ω的最小值为多少？

（1）依题意，
T
2 =
π
2 ，故T=π，
∴ω=2；
又f（0）=2sin（2×0+?-
π
6 ）=1，
∴sin（?-
π
6 ）=
1
2 ，
∵0＜?＜π，
∴φ=
π
3 ；
∴f（x）=2sin（2x+
π
6 ）；
（2）将f（x）=2sin（2x+
π
6 ）的图象向右平移
π
6 个单位得f（x-
π
6 ）=2sin[2（x-
π
6 ）+
π
6 ]=2sin（2x-
π
6 ），
再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得y=g（x）=2sin（
1
2 x-
π
6 ）；
由2kπ-
π
2 ≤
1
2 x-
π
6 ≤2kπ+
π
2 （k∈Z）得：
4kπ-
2π
3 ≤x≤4kπ+
4π
3 （k∈Z），
∴g（x）=2sin（
1
2 x-
π
6 ）的单调递增区间为[4kπ-
2π
3 ，4kπ+
4π
3 ]（k∈Z）．
（3）∵f（x）=2sin（ωx+?-
π
6 ）的图象在x∈（a，a+
1
100 ）（a∈R）上至少出现一个最高点或最低点，
∴
1
2 T=
π
ω ＜
1
100 ，
∴ω＞100π，
∴正整数ω的最小值为315．

由于函数f（x）=2sin(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数， 可以推知φ=π/2， 又由于函数y=f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为π/2 可以推知π/ω=π/2,得ω=2， 从而f（x）=2sin(ωx+φ)=2sin(2x+π/2)=2cos2x 故f(π/8)=√2 将函数y=f(x)的图像向右平移π/6个单位长度后,得到y=2cos2（x-π/6）=2cos（2x-π/3） 再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，得y=2cos（1/2x-π/3） 即y=g(x)=2cos（1/2x-π/3） g'(x)=-sin(1/2x-π/3) 若函数单调递减，则g'(x)≪0， 即sin(1/2x-π/3)≫0， 得2kπ ≪1/2x-π/3≪2kπ +π /2 即4kπ+2π/3≪x ≪4kπ+8π3,其中k为整数