高二数学 已知斜率为2的直线与双曲线X^2-Y^2=12相交于P1,P2,求线段P1P2中点的轨迹方程。

设直线方程为：y=2x+b

把直线带入双曲线x²-y²=12

得：3x²+4bx+b²+12=0

由于有解，判别式＞0，即16b²＞12（b²+12），b＞6或者＜-6

P1P2中点的横坐标x=（x1+x2）/2=-2b/3 ，x＞4或者x＜-4

P1P2中点的纵坐标y=-b/3

2式相除得：x=2y （x＞4或者x＜-4）

解设P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) (x1≠x2) ,则P1，P2的中点P(x,y)=((x1+x2)/2,(y1+y2)/2),

且P1P2的斜率为2，即(y1-y2)/(x1-x2)=2

P1,P2 满足双曲线，代入有

x1^2-y1^2=12---------------(1)

x2^2-y2^2=12---------------(2)

(1)-(2)

(y1-y2)/(x1-x2)=(x1+x2)/(yi+y2)

即有中点的轨迹为：2=x/y 即x=2y

斜率为2的直线与双曲线有总是交于其中的一只，当与双曲线有唯一交点时，此时直线方程为y=2x+b

代入双曲线有X^2-Y^2=12 有双曲线有唯一解：△=0，解得:b=±6

此时x=±4,所以x得取值范围为：(-∞,-4)∪(4,+∞)

即中点的轨迹为x=2y,x∈(-∞,-4)∪(4,+∞)