已知抛物线y^2=8x,点P(1,-1)是过该点的弦AB的中点,求弦AB所在的方程。

过程

用点差法。设抛物线与直线交点为A(x1,y1)和B(x2,y2)则A和B都在抛物线上，A，B两点满足关系式y12=8x1, y22=8x2,所以两式相减得到，y12-y22=8(x1-x2)(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2)直线AB斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)=8/(y1+y2)因为点P(1,-1)是过该点的弦AB的中点，所以(y1+y2)/2=-1,得y1+y2=-2所以直线斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)=8/(y1+y2)=-4因为直线AB过点P(1,-1)所以直线方程为y+1=4(x-1)即4x-y-5=0

设A(x,y)，则B(2-x,-2-y),由A、B都在抛物线上，列方程组：y^2=8x （1)(-2-y)^2=8(2-x) (2)(1)+(2)得到y^2+2y-6=0，所以y=-1+√7或y=-1-√7，得到有两组解（（4-√7）/4，-1+√7），（（4+√7）/4，-1-√7）所以就能得到弦AB所在的方程为y=-4x+3。这是最基本的方法，希望能有帮助。

设AB 所在直线方程为y=kx+b P(1,-1)在直线上,有-1=k+b 即b=-k-1...........(1) 把直线方程代入抛物线方程求交点有:(kx+b)??=8x 整理得:k??x??+(2kb-8)x+b??=0 根据韦达定理 方程两根之和x1+x2=-(2kb-8)/k??因为P(1,-1)是AB中点,所以 (x1+x2)/2=1 即x1+x2=2 代入前式子得: -(2kb-8)/k??=2 整理得: 2k??+2kb-8=0...........(2) (1)式子代入(2): 2k??-2k(k+1)-8=0 -2k-8=0 k=-2, b=-k-1=2-1=1AB 所在直线方程为: y=-2x+1

设ab 所在直线方程为y=kx+b p(1,-1)在直线上,有-1=k+b 即b=-k-1...........(1)

把直线方程代入抛物线方程求交点有:

(kx+b)²=8x 整理得:k²x²+(2kb-8)x+b²=0 根据韦达定理 方程两根之和x1+x2=-(2kb-8)/k²

因为p(1,-1)是ab中点,所以 (x1+x2)/2=1 即x1+x2=2 代入前式子得:

-(2kb-8)/k²=2 整理得: 2k²+2kb-8=0...........(2)

(1)式子代入(2): 2k²-2k(k+1)-8=0 -2k-8=0 k=-2, b=-k-1=2-1=1

ab 所在直线方程为: y=-2x+1