高一不等式求证

已知实数abc满足a+b+c=0和abc=2,求证abc中至少有一个不小于2

由 abc=2 知，a、b、c均不为0，知 其中负数一定为偶数个；

而 a+b+c=0，故其中有2个负数，一个正数；不妨设正数为a，

则  a=-b-c ，

假设 a＜2，则-b-c＜2，

由于 -b-c为正数，故 (-b-c)^2＜4，

即 b^2+c^2+2bc＜4，

于是得 2bc+2bc≤b^2+c^2+2bc＜4，

故 bc＜1，

与 a＜2 相乘得 abc＜2 ，与已知条件 abc=2 矛盾，

所以 假设不成立，于是 a不小于2.

＞＞≤≥≤≥＞≥

要证a^(2a) •b^(2b) •c^(2c)>a^(b+c) •b^(c+a) •c^(a+b)=(bc)^a•(ca)^b•(ab)^c 由于a、b、c均为正数，所以待证式等价于(a^2/bc)^a•(b^2/ac)^b•(c^2/ab)^c>1 分别讨论： 若b^2≥ac,由于已知a^2>bc，即有a^2/bc>1，b^2/ac≥1 所以(a^2/bc)^a•(b^2/ac)^b•(c^2/ab)^c>(a^2/bc)^c•(b^2/ac)^c•(c^2/ab)^c=1，不等式得证 若b^2<ac，则c^2<b^2<ab，即有b^2/ac<1，c^2/ab<1 所以(a^2/bc)^a•(b^2/ac)^b•(c^2/ab)^c>(a^2/bc)^a•(b^2/ac)^a•(c^2/ab)^a=1，不等 式得证 证毕。