abc是正实数，a2+b2+c2=1求3a+2b+c 最大值

abc是正实数，a2+b2+c2=1求3a+2b+c 最大值

利用柯西不等式
(a²+b²+c²)(3²+2²+1²)≥(3a+2b+c)²
∴(3a+2b+c)²≤14
∵a,b,c都是正实数
∴3a+2b+c≤√14
∴3a+2b+c 最大值=√14

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因a+b+c=1 两边平方，整理可得 a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)=1 结合a²+b²+c²=3可得 ab+bc+ca=-1 ∴-1=ab+c(a+b) =ab+c(1-c) ∴ab=c²-c-1 又a+b=1-c ∴由韦达定理可知 a,b是关于x的方程x²+(c-1)x+(c²-c-1)=0的两根。 ∴⊿=（c-1)²-4(c²-c-1)≥0 整理可得3c²-2c-5≤0 解得: -1≤c≤5/3 ab=c²-c-1 abc=c³-c²-c 构造函数f(x)=x³-x²-x -1≤x≤5/3 求导,f'(x)=3x²-2x-1=(x-1)(3x+1) ∴f(x)max=max{f(-1/3), f(5/3)}=5/27 ∴(abc)max=5/27