顶点为A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)的△ABC的面积等于行列式D 如图,

顶点为A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)的△ABC的面积等于行列式D 如图,

以(1,1),(3,4),(5,-2)为顶点的三角形面积为行列式
1 1 1
3 4 1
5 -2 1
= -18
的绝对值的一半,即 9.
以(1,1),(5,-2),(4,-7)为顶点的三角形面积为行列式
1 1 1
5 -2 1
4 -7 1
= -23
的绝对值的一半,即 23/2=11.5
所以,所求四边形的面积为 9+11.5 = 20.5
(2)顶点为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)的ΔABC中点为
((x1+x3)/2,(y1+y3)/2),((x2+x1)/2,(y2+y1)/2),((x3+x2)/2,(y3+y2)/2),
行列式
(x1+x3)/2 (y1+y3)/2 1
(x2+x1)/2 (y2+y1)/2 1
(x3+x2)/2 (y3+y2)/2 1
= 每行提出一个1/2
= (1/8)*
x1+x3 y1+y3 1+1
x2+x1 y2+y1 1+1
x3+x2 y3+y2 1+1
(将行列式按行分拆为8个行列式,其中6个等于0,2个相等且等于下行列式)
= (1/4)*
x1 y1 1
x2 y2 1
x3 y3 1
结论得证.
(3) 3个顶点的三角形面积为0,故3个点共线
(4) 设P的坐标为(x,y)
ΔPBC,ΔPCA,ΔPAB面积分别为下列行列式的绝对值的一半
x y 1
8 4 1
3 10 1
= 68 - 5y - 6x
x y 1
3 10 1
1 1 1
= 9x - 2y - 7
x y 1
1 1 1
8 4 1
= 7y - 3x - 4
两两相等解得 x=68/19≈3.58,y=253/57≈4.44.
(注:我没考虑绝对值的情况,可能有多个解)
再问： 你的解解错了吧，应该是（4，5） 最终有四组（-4，7）（10，13）（6，-5）（4，5）
再答： 嗯, 后面没仔细计算, 补充一下哈 由已知, 绝对值两两相等, 所以 68 - 5y - 6x = ±(9x - 2y - 7) = ±(7y - 3x - 4) 第1种情况: 68 - 5y - 6x = 9x - 2y - 7 = 7y - 3x - 4 得方程组: 15x+3y = 75 12x-9y = 3 解得: x=4, y=5. 第2种情况: 68 - 5y - 6x = 9x - 2y - 7 = -(7y - 3x - 4) 得方程组: 15x+3y = 75 6x+5y = 11 解得: x=6, y=-5. 第3种情况: 68 - 5y - 6x = -(9x - 2y - 7) = 7y - 3x - 4 得方程组: 3x-7y = -61 6x+5y = 11 解得: x=-4, y=7. 第4种情况: 68 - 5y - 6x = -(9x - 2y - 7) = -(7y - 3x - 4) 得方程组: 3x-7y = -61 12x-9y = 3 解得: x=10, y=13. 故有四组解: (4,5),(6,-5),(-4,7),(10,13)