为什么任何一个有限集的子集的个数都是2^n 个 用枚举法试着证过，有么有其他的方法

为什么任何一个有限集的子集的个数都是2^n 个 用枚举法试着证过，有么有其他的方法

用乘法原理证。
设这个有限集A有n个不同元素,记为a1,a2,...,an.
我们假设要做组建一个A的子集的事情。
做这件事情需要n步：
第一步，选择是否在组建的子集中包括a1,有两个选择(包括a1或者不包括a1);
第二步，选择是否在组建的子集中包括a2,有两个选择(包括a2或者不包括a2);
...;
第n步，选择是否在组建的子集中包括an,有两个选择(包括an或者不包括an)。
于是做成这件事情共有2x2x...x2=2^n种方法。
每种方法对应一个子集，共有2^n个子集。

反证法

可以认为成找一个N个元素的集合的所有情况，每一个元素可以存在也可以不存在。一个元素两种情况，两个元素2的平方种情况，三个元素2的3次方种情况.....n个元素2的N次方种情况。

一个有限集含有n个元素 A={a1,a2,...........,an} 构成1个子集是要在这n个元素中进行选择， 而每一个元素取与不取都是2种选择方法。 构成1个子集的方法： a1取与不取2种，a2取与不取2种，...,an取与不取2种 ∴共2^n种方法 ∴有限集含有n个元素的子集的个数都是2^n 个
若学习了二项式定理，还有更好的解释方法

证明：设集合A含有n个元素
则包含下列集合：
无元素的集合---空集，共一个，可看作C(n,0)个；
一个元素的集合--共有n个,取法共有C(n,1)种;
两个元素的集合--共有C(n,2)种；
...
n个元素的集合----共有C(n,n)种
∴总的个数为C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n ...①
注明：
若对①式不熟悉，也给出证明
对(1+1)^n利用二项式定理展开即可得到。