x²dy/dx=xy-y²的通解

x²dy/dx=xy-y²的通解

x=pcosk y=psink
dx=dpcosk-psinkdk
dy=dpsink+pcoskdk
x²dy=(xy-y²)dx
p²cos²k(dpsink+pcoskdk)=(p²cosksink-p²sin²k)(dpcosk-psinkdk)
dp(p²cos²ksink-(p²cosksink-p²sin²k)cosk)=dk(-(pcosk)^3-(p²cosksink-p²sin²k)psink)

dp(-p²sin²kcosk)=dk((cosk)^3+sin²kcosk-(sink)^3)(-p^3)
dp(sin²kcosk)=dk((cosk)^3+sin²kcosk-(sink)^3)p
(cosk)^3-(sink)^3=(cosk-sink)(1+sinkcosk)=cosk-sink+sinkcos²k-sin²kcosk
dp(sin²kcosk)=dk(cosk-sink+sinkcos²k)p

dp/p=(cosk-sink+sinkcos²k)dk/(sin²kcosk)=(1/sin²k-1/sinkcosk+cosk/sink)dk
dp/p=(1/sin²k-(sin²k+cos²k)/sinkcosk+cosk/sink)dk=(1/sin²k-sink/cosk)dk
dp/p=(1/sin²k-sink/cosk)dk 两边积分得
lnp=-cosk/sink+lncosk+c
p=e^(-cosk/sink+lncosk+c)=cosk*e^(-cosk/sink)*c
由p²=x²+y²，cosk=x/(x²+y²)^0.5，cosk/sink=x/y得
(x²+y²)^0.5=x/(x²+y²)^0.5*e^(-x/y)*c
(x²+y²)^2*e^(2x/y)=x²*c

这是一阶齐次型方程。