定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对任意x.y属于(-1,1),都有f(x)+f(y)=f(x+y/1+xy)。
答案:1 悬赏:70 手机版
解决时间 2021-02-18 13:53
- 提问者网友:饥饿走向夜
- 2021-02-17 21:12
定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对任意x.y属于(-1,1),都有f(x)+f(y)=f(x+y/1+xy)。
最佳答案
- 五星知识达人网友:十年萤火照君眠
- 2021-02-17 22:03
本题比较难,分三步解决.
第一步,先证明f(x)是奇函数。
∵函数f(x)的定义域为(-1,1),在f(x)+f(y)=f[(x+y)/(1+xy)]中,令x=y=0得f(0)=0
再令y=-x得f(x)+f(-x)=f(0)=0,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数。
第二步,再证明f(x)在(-1,1)为减函数。
设-1 故f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f[(x1-x2)/(1-x1x2)]>0,∴f(x1)>f(x2)
∴f(x)是(-1,0)上的减函数,
又f(x)是奇函数,∴f(x)是(-1,1)上的减函数。
第三步,用裂项相消法化简不等式的左边,利用单调性证明此不等式。
∵在f(x)+f(y)=f[(x+y)/(1+xy)]中,令x=1/n+2,y=-1/n+3得
f(1/n+2)-f(1/n+3)=f(1/n+2)+f(-1/n+3)=f{[(1/n+2)+(-1/n+3))]/[1-1/(n+2)(n+3)]}
=f(1/(n^2+5n+5)
∴f(1/11)+f(1/19)+…+f(1/(n^2+5n+5)=f(1/3)-f(1/4)+f(1/4)-f(1/5)+…+f(1/n+2)-f(1/n+3)
=f(1/3)-f(1/n+3)=f(1/3)+f(-1/n+3)
∵当x∈(-1,0)时,有f(x)>0,而-1<-1/(n+3)<0,∴f(-1/n+3)>0
∴f(1/11)+f(1/19)+…+f(1/(n^2+5n+5)=f(1/3)+f(-1/n+3)>f(1/3).
第一步,先证明f(x)是奇函数。
∵函数f(x)的定义域为(-1,1),在f(x)+f(y)=f[(x+y)/(1+xy)]中,令x=y=0得f(0)=0
再令y=-x得f(x)+f(-x)=f(0)=0,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数。
第二步,再证明f(x)在(-1,1)为减函数。
设-1
∴f(x)是(-1,0)上的减函数,
又f(x)是奇函数,∴f(x)是(-1,1)上的减函数。
第三步,用裂项相消法化简不等式的左边,利用单调性证明此不等式。
∵在f(x)+f(y)=f[(x+y)/(1+xy)]中,令x=1/n+2,y=-1/n+3得
f(1/n+2)-f(1/n+3)=f(1/n+2)+f(-1/n+3)=f{[(1/n+2)+(-1/n+3))]/[1-1/(n+2)(n+3)]}
=f(1/(n^2+5n+5)
∴f(1/11)+f(1/19)+…+f(1/(n^2+5n+5)=f(1/3)-f(1/4)+f(1/4)-f(1/5)+…+f(1/n+2)-f(1/n+3)
=f(1/3)-f(1/n+3)=f(1/3)+f(-1/n+3)
∵当x∈(-1,0)时,有f(x)>0,而-1<-1/(n+3)<0,∴f(-1/n+3)>0
∴f(1/11)+f(1/19)+…+f(1/(n^2+5n+5)=f(1/3)+f(-1/n+3)>f(1/3).
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