已知正数x、y,满足2y+x=3xy,求xy的最小值

已知正数x、y,满足2y+x=3xy,求xy的最小值

解：
2y+x=3xy
(3y-1)x=2y
x、y均为正，要等式成立，则3y-1>0，解得y>⅓
x=2y/(3y-1)
xy=[2y/(3y-1)]·y
=2y²/(3y-1)
=(2y²-⅔y+⅔y- 2/9 +2/9)/(3y-1)
=[⅔y(3y-1)+(2/9)(3y-1)+ 2/9]/(3y-1)
=⅔y +2/9 +(2/9)/(3y-1)
=(2/9)(3y-1) +(2/9)/(3y-1) +4/9
=(2/9)[(3y-1)+ 1/(3y-1)] +4/9
由均值不等式得：(3y-1) +1/(3y-1)≥2，当且仅当3y-1=1/(3y-1)时，即y=⅔时取等号。
此时，x=2y/(3y-1)=2·⅔/(3·⅔-1)=4/3
(2/9)[(3y-1)+ 1/(3y-1)] +4/9≥(2/9)·2 +4/9=8/9
xy≥8/9
xy的最小值是8/9。

本题运用了均值不等式。
解题思路：
用y表示x，xy变形为关于y的代数式，然后运用均值不等式，求解最小值。

看我的这个吧，用均值定理的解答：
因为x，y都是整数，所以xy>0,等式两边同时除以xy，得：2/x+1/Y=3;
由均值定理：(2/x)*(1/y)<=(3/2)^2;
所以2/xy<=9/4;
xy>=8/9;
所以xy的最小值为8/9

解：∵正数x、y,满足2y+x=3xy，即（2/ x）+（1/y）=3
     ∴3=（2/ x）+（1/y）≥2√（2/ x y）
     化为x y≥72
     当且仅当（2/ x）=（1/y）=1/6 ，即x=12，y=6时等号成立。
    ∴xy的最小值是72

xy=(2y+x)/3>=2√(2y*x)/3
所以3xy>=2√2*√(xy)
3xy-2√2√(xy)>=0
√(xy)[3√(xy)-2√2]>=0
所以√(xy)<=0,√(xy)>=2√2/3
√(xy)<=0不成立
所以√(xy)>=2√2/3
xy>=8/9
最小值8/9