已知x>0,y>0 x3－y3＝x2－y2，求证 1<x+y<(4\3)
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解决时间 2021-02-15 22:39
- 提问者网友：火车头
- 2021-02-15 14:28
已知x>0,y>0 x3－y3＝x2－y2，求证 1<x+y<(4\3)
最佳答案
- 五星知识达人网友：渊鱼
- 2021-02-15 15:21
条件应为x与y不等。
这样的话，
x²-y²=x³-y³
(x+y)(x-y)=(x-y)(x²+xy+y²)
∵x-y≠0
∴x+y=x²+xy+y²
(x+y)²-（x+y）-xy=0
∵x>0,y>0
∴xy≤[(x+y)²/4]（当且仅当x=y时等号成立）
∴(x+y)²-（x+y）-xy=0
改为(x+y)²-（x+y）-[(x+y)²/4]≥0
3/4*(x+y)²-（x+y）≥0
（x+y）[3/4*(x+y)-1]≥0
∵x>0,y>0
∴（x+y）>0
∴3/4*(x+y)-1≥0
∴0<(x+y)≤4/3 （当且仅当x=y时等号成立）
∵x与y不等
∴等号不成立
∴0<(x+y)<4/3
命题得证。参考资料：难得回家休息几天，正在参加BAIDU公益活动.
这样的话，
x²-y²=x³-y³
(x+y)(x-y)=(x-y)(x²+xy+y²)
∵x-y≠0
∴x+y=x²+xy+y²
(x+y)²-（x+y）-xy=0
∵x>0,y>0
∴xy≤[(x+y)²/4]（当且仅当x=y时等号成立）
∴(x+y)²-（x+y）-xy=0
改为(x+y)²-（x+y）-[(x+y)²/4]≥0
3/4*(x+y)²-（x+y）≥0
（x+y）[3/4*(x+y)-1]≥0
∵x>0,y>0
∴（x+y）>0
∴3/4*(x+y)-1≥0
∴0<(x+y)≤4/3 （当且仅当x=y时等号成立）
∵x与y不等
∴等号不成立
∴0<(x+y)<4/3
命题得证。参考资料：难得回家休息几天，正在参加BAIDU公益活动.
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