定义在R上的函数f（x）满足f（x）=-f（x+2），且当X属于（-1，1]时，f（x）=X^2+2X,求X属于(3,5]时,f（x）的解析式,.及判断f（x）在(3,5]的增减性并证明

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=-f（x+2），且当X属于（-1，1]时，f（x）=X^2+2X,求X属于(3,5]时,f（x）的解析式,.及判断f（x）在(3,5]的增减性并证明

x属于(3，5] x-4属于（-1，1]f(x)=-f(x-2) = -(-f(x-4)) = f(x-4) = (x-4)平方+2(x-4) = x平方 - 6x +8祝您学习进步、事事顺心！不明白的可以追问，包您满意^.^

因为f(x )=-f(x+2)=-(-f(x +))=f (x +4) ，x 属于(3，5]，f (X)=f (x +4)=(x +4)2+2(x +4)=x2+10x +24，因为对称轴为-5，函数开口向上，所以在(3，5)为增函数

又f（x）=-f（x+2）得    f（x+2）=-f（x+4）    所以    f（x）=f（x+4）    周期为4

X属于(3,5]时,f（x）的解析式为    f（x）=（X-4）^2+2(x-4)

f（x）在(3,5]的增减性与 f（x）在(-1，i]    的增减性相同    对称轴为x=-1

所以 f（x）在(-1，i]  单调递增    即f（x）在(3,5]单调递增

f（x）=-f（x+2）

由于对任意x都成立，所以当x=y+2时，有f(y+2)=-f(y+4)

所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)

f(x)=f(x+4)

x属于（-1，1]时，f（x）=X^2+2X,X属于(3,5]时f(x)=f(x-4)=(x-4)^2+2(x-4)=x^2-6x+8(x-4是在（-1，1]可用式子）

f(x)=(x-3)^2-1   在（3，5］上是增函数，由二次函数性质，直接可证明。