f(x)=(tan²x-tanx+1)/(tan²x+tanx+1)求最大值、最小值、并求取得时的x的值。

f(x)=(tan²x-tanx+1)/(tan²x+tanx+1)求最大值、最小值、并求取得时的x的值。

f(x)=1-2tanx/(tan²x+tanx+1)=1-2tanx/((tanx+0.5)²+3/4)

if  tanx=0 then f(x)=1

if  tanx>0 then f(x)=1-2tanx/(tan²x+tanx+1)=1-2/(tanx+1/tanx+1)

tanx+1/tanx>=2

so    1/3<=f(x)<1

if  tanx<0 then f(x)=1-2tanx/(tan²x+tanx+1)=1-2/(tanx+1/tanx+1)

tanx+1/tanx<=-2

so    1<f(x)<=3

so the max f(x)=3  tanx=-1

     the min f(x)=1/3 tanx=1

f(x)=(tan²x-tanx+1)/(tan²x+tanx+1)=(tan²x+tanx+1-2tanx)/(tan²x+tanx+1)=1-2tanx/(tan²x+tanx+1)，

当tanx≠0时，在分式-2tanx/(tan²x+tanx+1)中，将tanx除下去，得-2/(tanx+1+1/tanx)

而在勾函数f(tanx)=tanx+1/tanx中，f(tanx)≤-2或f(tanx)≥2，所以tanx+1+1/tanx≤-1或tanx+1+1/tanx≥3

在-2/(tanx+1+1/tanx)中，把tanx+1+1/tanx看成一个整体，则-2/(tanx+1+1/tanx)相当于反比例函数，

0＜-2/(tanx+1+1/tanx)≤2，-2/3≤-2/(tanx+1+1/tanx)＜0

则此时f(x)=1-2tanx/(tan²x+tanx+1)的范围为1＜f(x)≤3或1/3≤f(x)＜1

当tanx=0时,f(x)=(tan²x-tanx+1)/(tan²x+tanx+1)=1

所以1/3≤f(x)≤3

f(x)的最大值为3,最小值为1/3

当f(x)=3时，tanx=-1,x=3π/4+kπ（k∈Z）

当f(x)=1/3时，tanx=1,x=π/4+kπ（k∈Z）