设A是mxr矩阵，则对任意rxn矩阵，r（AB）=r（B）的充分必要条件是r（A）=r（B）

设A是mxr矩阵，则对任意rxn矩阵，r（AB）=r（B）的充分必要条件是r（A）=r（B）
证明。

题目是“则对任意矩阵rxn矩阵B” 漏了一个“B”，不好意思。

假设A1'=[a1,a2,...,ar,a(r+1),...,an],ai为m维列向量，同时a1,a2,...,ar线性无关。（通过将A列变换总能得到） 由于a(r+1),a(r+2),...,an能被a1,a2,...,ar线性表示，且表示法唯一。将这唯一的表示法用矩阵P表示出来，并令P=[c(r+1),c(r+2),...cn]，ci为r维列向量。 令B=[a1,a2,...,ar]，C'=[Er,P],Er为r维单位阵。明显r(B)=r(C)=r,且A'=BC' 然后将C'逆列变换成C，同时A'逆列变换成A。即有A=BC

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