直线x=ky-1 与 椭圆3x^2+4y^2=12 交于A,B两 点。 求三角形F2AB面积的最大值 ...

直线x=ky-1 与
椭圆3x^2+4y^2=12 交于A,B两
点。
求三角形F2AB面积的最大值
？？？
【F2为椭圆的右焦点，坐标为
（1，0）】 求详细解答！

椭圆方程： x^2/4 +y^2/3 =1
设F1(-1,0),直线方程：x=ky-1,则有直线过F1.
令A(x1,y1),B(x2,y2)
易知：S△F2AB=|F1F2|*(|y1|+|y2|)/2
联立方程组： (k^2y^2-2ky+1)/4+y^2/3=1
(3k^2+4)y^2-6ky-9=0
因为y1,y2一正一负
所以|y1|+|y2|)=|y1-y2|=√[(y1+y2)^2-4y1y2]=根号[36k^2/(3k^2+4)^2+36/(3k^2+4)]=根号[36k^2+108k^2+144]/(3k^2+4)=12/(3k^2+4)*根号(k^2+1)
故S△F2AB=1/2*2*|y1-y2|=12/(3k^2+4)根号(k^2+1)=12根号{[1/3(3k^2+4)-1/3]/(3k^2+4)^2}
设t=1/(3k^2+4)<=1/4
=12根号[1/3t-1/3t^2]

=12根号[-1/3(t-1/2)^2+1/12]
由于0 即面积的最大值是3.

此题计算比较麻烦： 设A（x1,y1),(x2,y2), 首先由直线x=ky-1可知该直线过定点（-1,0），故三角形F2AB的面积可看成由F1F2为底的两三角形S△AF1F2与S△BF1F2面积之和。