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对n元方程组

答案:2  悬赏:30  手机版
解决时间 2021-03-01 21:29
对n元方程组
最佳答案
题:对n元方程组, 正确的说法有:
A : 若AX=0只有零解,则AX=b有唯一解
B; AX=0有非零解的充要条件是|A|=0
C AX=b有唯一解的充要条件是r(A)=n
D: 若 AX=b有两个不同的解,则AX=0有无穷多解。
解:设方程组有n元(n个未知数),有m个等式,
情况一:当m=n时,系数矩阵A为方阵。在此条件下讨论以下习题,答案是A,B,C,D
说明:
A) AX=0只有零解,说明|A|<>0, 从而此项正确。
B)正确。
C)方阵满秩,等价于行列式非0.
D) 若 AX=b有两个不同的解,设为x1和x2.
则A(x1-x2)*常数k=0,于是AX=0有无数个解。

情况二:mA) 此时无论如何, AX=b有多解。前提AX=0只有零解也不成立。故此选项错误。
B) 此时 |A| 无意义,并且AX=0 也有多解。
C) 类似选项 A, AX=b有多解。
D) 无论 前提如何,AX=0有无穷解。故正确。

情况三:m>n,这个很少见。类似讨论。此时选项 D正确。
A) 此时,方程的个数多于未知元的个数,即使AX=0只有一个解,即r(A)=n, 还是可能出现两个互相矛盾的方程式,从而无解。于是A错。
同理 C错。
B) 此时|A|无意义。
D) 显然正确。理由见前述。
全部回答
A,AX=0只有零解,就是系数矩阵的秩为n,AX=b有唯一解,就是其增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩等于n,现在 只知道AX=b的系数矩阵的秩为n,别的信息根本就不知道
B,含有n个未知量n个方程的奇次线性方程组有非零解的充要条件是:方程组的系数行列式等于零(我在书上看到的,我怎么看都觉得是对的啊 ,你自己理解吧)
C,AX=b有唯一解的充要条件就是其增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩等于n,其中n为未知量的个数
D,AX=b,解得情况只能是 有解,无解,有解的前提下 有唯一解或者 有无穷多个解,他现在说有两个不同的解,就只能是有无穷多个解的情况,要满足增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩小于n,AX=0有无穷多个解的充要条件是系数矩阵的秩小于n,从前面退后面的,是完全可以的 恰好跟第一个选项的相反
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