已知函数f（x）=ex+ax，g（x）=exlnx（e是自然对数的底数）．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线也是抛物

已知函数f（x）=ex+ax，g（x）=exlnx（e是自然对数的底数）．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线也是抛物线y2=4（x-1）切线，求a的值；（2）若对于任意x∈R，f（x）＞0恒成立，试确定实数a的取值范围；（3）当a=-1时，是否存在x0∈（0，+∞），使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x0处的切线斜率与f（x）在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的x0的个数；若不存在，请说明理由．

（1）f′（x）=ex+a，把x=1代入得：f′（1）=e+a，
把x=1代入f（x）得：f（1）=e+a，所以切点坐标为（1，e+a），
则在x=1处的切线为y-（e+a）=（e+a）（x-1）即：y=（e+a）x，
与y2=4（x-1）联立，消去得（e+a）2x2-4x+4=0，
由△=0知，a=1-e或a=-1-e；（4分）
（2）f′（x）=ex+a，
①当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增，且当x→-∞时，ex→0，ax→-∞，
∴f（x）→-∞，故f（x）＞0不恒成立，所以a＞0不合题意；（6分）
②当a=0时，f（x）=ex＞0对x∈R恒成立，所以a=0符合题意；
③当a＜0时令f′（x）=ex+a=0，得x=ln（-a），
当x∈（-∞，ln（-a））时，f′（x）＜0，当x∈（ln（-a），+∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）在（-∞，ln（-a））上是单调递减，在（ln（-a），+∞）上是单调递增，
所以[f（x）]min=f（ln（-a））=-a+aln（-a）＞0，
解得a＞-e，又a＜0，∴a∈（-e，0），
综上：a∈（-e，0]．（10分）
（3）当a=-1时，由（2）知[f（x）]min=f（ln（-a））=-a+aln（-a）=1，
设h（x）=g（x）-f（x）=exlnx-ex+x，则h′(x)=exlnx+ex?
1
x -ex+1=ex(lnx+
1
x -1)+1，
假设存在实数x0∈（0，+∞），使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x0处的切线斜率与f（x）在R上的最小值相等，
x0即为方程的解，（13分）
令h′（x）=1得：ex(lnx+
1
x -1)=0，因为ex＞0，所以lnx+
1
x -1=0．
令φ(x)=lnx+
1
x -1，则φ′(x)=
1
x -
1
x2 =
x-1
x2 ，
当0＜x＜1是φ′（x）＜0，当x＞1时φ′（x）＞0，
所以φ(x)=lnx+
1
x -1在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴φ（x）＞φ（1）=0，故方程ex(lnx+
1
x -1)=0有唯一解为1，
所以存在符合条件的x0，且仅有一个x0=1．（16分）

（ⅰ） 函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝a+ 1 x （x＞0）． ①当a≥0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数． ②当a＜0时，若x∈(0，? 1 a )，f'（x）＞0，∴f（x）在x∈(0，? 1 a )上为增函数； 若x∈(? 1 a ，+∞)，f'（x）＜0，∴f（x）在x∈(? 1 a ，+∞)上为减函数． 综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数． 当a＜0时，f（x）在(0，? 1 a )上为增函数，在(? 1 a ，+∞)上为减函数． （ⅱ）∵?x∈（0，+∞），使得不等式g(x)＜ x?m+3 x 成立，∴?x∈（0，+∞），使得m＜x?ex x +3成立， 令h(x)＝x?ex x +3，则h′(x)＝1?ex( x + 1 2 x )， 当x∈（0，+∞）时，∵ex＞1， x + 1 2 x ≥2 x ? 1 2 x ＝ 2 ， ∴ex( x + 1 2 x )＞1，∴h'（x）＜0，从而h（x）在（0，+∞）上为减函数，∴h（x）＜h（0）=3∴m＜3． （ⅲ）当a=0时，f（x）=lnx，令φ（x）=g（x）-f（x）-2，则φ（x）=ex-lnx-2， ∴φ′(x)＝ex? 1 x ，且φ'（x）在（0，+∞）上为增函数． 设φ'（x）=0的根为x=t，则et＝ 1 t ，即t=e-t． ∵当x∈（0，t）时，φ'（x）＜0，φ（x）在（0，t）上为减函数；当x∈（t，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）在（t，+∞）上为增函数， ∴φ(x)min＝φ(t)＝et?lnt?2＝et?lne?t?2＝et+t?2∵φ'（1）=e-1＞0，φ′( 1 2 )＝ e ?2＜0，∴t∈( 1 2 ，1)， 由于φ（t）=et+t-2在t∈( 1 2 ，1)上为增函数，∴φ(x)min＝φ(t)＝et+t?2＞e 1 2 + 1 2 ?2＞ 2.25 + 1 2 ?2＝0， ∴f（x）＜g（x）-2．