试说明连续4个正整数的积与1的和是一个正整数的平方
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解决时间 2021-12-02 20:49
- 提问者网友：沉默的哀伤
- 2021-12-02 06:31
试说明连续4个正整数的积与1的和是一个正整数的平方
最佳答案
- 五星知识达人网友：春色三分
- 2021-12-02 07:46
证：
设4个连续正整数从小到大依次为n、n+1、n+2、n+3，其中，n∈N*
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1
=(n²+3n)(n²+3n+2)+1
=(n²+3n)²+2(n²+3n)+1
=(n²+3n+1)²
是正整数n²+3n+1的平方。
即：4个连续正整数的积与1的和是一个正整数的平方。
解题思路：按已知条件要求列出代数式，通过恒等变形，推导为一个正项整数多项式平方的形式，即证明了命题成立。
设4个连续正整数从小到大依次为n、n+1、n+2、n+3，其中，n∈N*
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1
=(n²+3n)(n²+3n+2)+1
=(n²+3n)²+2(n²+3n)+1
=(n²+3n+1)²
是正整数n²+3n+1的平方。
即：4个连续正整数的积与1的和是一个正整数的平方。
解题思路：按已知条件要求列出代数式，通过恒等变形，推导为一个正项整数多项式平方的形式，即证明了命题成立。
全部回答
- 1楼网友：罪歌
- 2021-12-02 09:18
假设这4个数是:
(x-1),x,(x+1),(x+2)
那么:
(x-1)x(x+1)(x+2)+1
=(x^2-1)(x^2+2x)+1
=x^4+2*x^3-x^2-2x+1
(x^2+x-1)^2.
所以连续4个正整数的积与1的和是一个正整数的平方
(x-1),x,(x+1),(x+2)
那么:
(x-1)x(x+1)(x+2)+1
=(x^2-1)(x^2+2x)+1
=x^4+2*x^3-x^2-2x+1
(x^2+x-1)^2.
所以连续4个正整数的积与1的和是一个正整数的平方
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