【费拉里】...卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求根公式.当时数学家们...

【费拉里】...卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求根公式.当时数学家们...

【答案】 1. 定理设f(z)= \sum_{n \geq 0} a_n z^n为一幂级数,其收敛半径为R.若对收敛圆（模长为 R 的复数的集合）上的某个复数z_0,级数\sum_{n\geq 0} a_n z_0^n收敛,则有: \lim_{t\to 1^-} f(t z_0) = \sum_{n \geq 0} a_n z_0^n.
　　若\sum_{n \geq 0} a_n R^n收敛,则结果显然成立,无须引用这定理.
　　2. 例子和应用阿贝尔定理的一个有用应用是计算已知收敛级数.方法是通过在级数每项后加上x^n项,将问题转换为幂级数求和,最后再计算 x 趋于 1 时幂级数的极限.由阿贝尔定理可知,这个极限就是原级数的和.
　　1.为计算收敛级数 \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} ,设f(x)= \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = \log (1+x).于是有\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \log 2
　　2.为计算收敛级数\sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{2n+1},设g(x)= \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = \arctan (x).因此有\lim_{x \to 1^-} g(x) = \arctan (1) = \frac{\pi}{4} = \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}

收益了