一道高一的数学题 。

已知圆的方程是:x^2+y^2-2ax+2(a-2)y+2=0,其中a≠且a∈R.

(1)求证:a取不为1的实数时,上述圆恒过定点;

(2)求与圆相切的直线方程;

(3)求圆心的轨迹方程.

要过程，谢谢了

(1).方程可化简为：(x-a)^2+(y+a-2)^2=2(a-1)^2=(1-a)^2+(a-1)^2。

由上式知：当a≠1时，有：当x=1，y=1时，上式恒成立。故圆一定过恒定点(1,1)。

(2).由(1)知，圆心O为:(-a,2-a)。且圆过恒定点(1,1)。则可知圆的过点A(1,1)的切线方程为y=kx+b。

而有直线OA垂直于切线。直线OA的斜率k1=(2-a-1)/(-a-1)=-(a-1)/(a+1)。

则可知k=-1/k1=(a+1)/(a-1)。则有y=(a+1)x/(a-1)+b。而点A(1,1)为切线上一点，可知：b=-2/(a-1)。故切线为y=(a+1)x/(a-1)-2/(a-1)。即：(a-1)y-(a+1)x+2=0。

(3).圆心的坐标为(x,y)。则有x=-a,y=2-a。则有圆心的轨迹方程为：y=x+2。

恒过（1，1） 可将（1，1） 代入验证