问一道初3数学题

在△ABC中,D为AC边上一点，CD=ZDA，角BAC=45度，角BDC=60度，CE垂直BD，E为垂足，连接AE

问1.写出图中所有相等的线段，并加以证明

2.写出图中相似三角形，并加以证明

3.求△BEC与△BEA的面积比

(1)rtΔCED中,∠BDC=60°∴DE=CD/2, ∴DE=AD, ∴∠DAE=∠DEA=60/2=30º
又∵∠ECA=30º, ∴CE=AE
∵∠EAB=45-30=15º,∠AEB=360-180-30=150º,
∴∠ABE=180-150-15=15º, ∴BE=AE=CE
（2）图中△DAE∽△EAC.
∵∠EAB=∠EBA ∴BE=AE∵∠AED=∠ACE ∴△AED∽△ACE

（3）求△BEC与△BEA的面积之比
∵S△BEC∶S△BEA=1/2•CE•BE∶1/2•AE•BE•sin150º=1∶cos60º=1∶1/2=2∶1.

1.

在直角△CDE中

∠CED=60°

∴2DE=CD

∴DA=DE

∴△ADE是等腰三角形

∴∠DAE=∠AED=1/2∠CDE=30°

∴∠DAE=∠DCE=30°

∴AE=CE

∵∠DAB+∠DBA=∠BDC=60°

∴∠ABD=15°=∠BAE

∴AE=BE

∴AE=BE=CE

2.

∵BE=CE

∴∠BCE=∠CBE

∵∠BCE+∠CBE=90°

∴∠BCE=∠CBE=45°

∴∠BAC=∠CBD

∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=60°=∠BDC

在△ABC和△BDC中

∠BAC=∠DBC

∠ABC=∠BDC

∴△ABC∽△BDC

3.

延长BD，过点A做BD的垂线交于点F

在直角△AEF中

∠AEF=30°

∴AF=1/2AE

∵S△BEA=1/2*BE*AF  S△BEC=1/2*BE*CE

∴S△BEA:S△BEC=AF:CE=AF:AE=1:2

1）因∠ BDC=60度，CE⊥BD  ，即∠ ECD=30度 ，故ED=1/2CD=DA ，所以ED=DA

     又∠ DAE=∠ DEA=30度 ，故CE=AE

     又∠BAE=45-30=15度  ，即∠BAE=∠ABE=15度 ，故AE=BE=CE

2）因∠ECA=EAC=∠DEA=30度 ，故三角形ECA∽ EDA（AAA）

3）S 三角形BEC ：S 三角形BEA  =BE^2:：BＥ^2 *sin30度= 2　：1