求证：阿波罗尼斯定理

也是三角形中线定理

证明直角三角形斜边上的中线等于斜边一半：
矩形的一个性质就是对角线等长。
画出一个矩形，然后画出两条对角线，就可以看到两条对角线等长且互相平分。
我们把矩形两条相邻的边以及一条对角线为成一个直角三角形，那么我们就可以看到另一条对角线就是这个直角三角形的鞋边的中线， 它的长是斜边长的一半。

阿波罗尼斯（apollonius）圆，简称阿氏圆。 [编辑本段]定义 　　在平面上给定相异两点a、b，设p点在同一平面上且满足pa/pb= λ， 当λ>0且λ≠1时，p点的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。设m、n分别为线段ab按定比λ分割的内分点和外分点，则mn为阿波罗尼斯圆的直径，且mn=［２λ／（λ^2-1）］ab。 [编辑本段]证明 　　我们可以通过公式推导出an的长度：an:bn＝ap:bp ，其中bn=an+ab，所以an:(an+ab)＝ap:bp=>an=ap×ab÷(bp-ap)，以np为直径的圆就是我们所求的轨迹圆。 [编辑本段]性质 　　由阿波罗尼斯圆可得阿波罗尼斯定理，即： 　　设三角形的三边和三中线分别为a、b、c、ma(a为下标，下同）、mb、mc，则有以下关系： 　　b^2+c^2=a^2/2+2ma^2； 　　c^2+a^2=b^2/2+2mb^2； 　　a^2+b^2=c^2/2+2mc^2。 　　（此定理用余弦定理和勾股定理可以证明）。