已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中实数a、b、c满足a＞b＞c，a+b+c=0．（1）求证：

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中实数a、b、c满足a＞b＞c，a+b+c=0．（1）求证：两函数的图象相交于不同的两点A、B；（2）求线段AB在x轴上的射影A1B1长的取值范围．

（1）联立方程得：ax2+2bx+c=0，
△=4（a2+ac+c2），
∵a＞b＞c，a+b+c=0，
∴a＞0，c＜0，
∴△＞0，
∴两函数的图象相交于不同的两点；

（2）设方程的两根为x1，x2，则
|A1B1|2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2，
=（-
2b
a ）2-
4c
a =
4b2?4ac
a2 =
4(?a?c)2?4ac
a2 ，
=4[（
c
a ）2+
c
a +1]，
=4[（
c
a +
1
2 ）2+
3
4 ]，
∵a＞b＞c，a+b+c=0，
∴a＞-（a+c）＞c，a＞0，
∴-2＜
c
a ＜-
1
2 ，
此时3＜A1B12＜12，
∴



3 ＜|A1B1|＜2



3 ．

解：依题意，知a、b≠0, ∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0,∴a＞0且c＜0 （ⅰ）令f（x）＝g（x），得ax2＋2bx＋c＝0.（*） δ＝4（b2－ac） ∵a＞0，c＜0，∴ac＜0， ∴两根之积小于0 所以x1，x2一个正根，一个为负根，若x1大于x2，则x2一定小于0，不可能0<x2<2，所以题目有问题 但是可以证明0<x1<2 证明如下0<x1已经说了，只要证明x1<2就可以了， 因为f(x)－g(x)=ax^2+2bx+c=0,且a>b>c 所以有0=a+b+c>3c所以有c<0,同理能得到a>0, 而f(2)-g(2)=4a+4b+c=4(a+b+c)-3c=-3c>0， 且有函数f(x)－g(x)的图象的对称轴为x=-b/a=(a+c)/a=1+c/a<1<2, 所以有方程f(x)－g(x)=0的两根均小于2 （ⅱ）设x1、x2为交点a、b之横坐标 则|a1b1|^2＝|x1－x2|^2， 由方程（*）， 知|a1b1|^2=(4(a^2+c^2+ac)/(a^2)=4[(c/a)^2+(c/a)+1]...(**) ∵a+b+c=0,a>b得2a+c>0,c/a>-2.c<b,得a+2c<0,c/a<-1/2 故-2<c/a<-1/2,4[(c/a)^2+(c/a)+1]∈（3，12） ∴|a1b1|∈（√3,2√3）