圆的方程及圆系方程的推导与应用

圆的方程及圆系方程的推导与应用

圆的方程 一般式x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0
标准式 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2

设有两个圆C1: x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0与 C2 :x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0圆系方程就是过已知两个圆的交点的圆的方程x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ(x^2+y^2+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1)
首先这个方程代表一个圆。其次，C1C2的交点A,B满足这个方程。这是因为A在C1上，所以A的坐标代进C1的式子一定等于0而A也在C2上，所以A的坐标代进C2的式子一定等于0把C1的方程加上λ倍的C2的方程就是上面的圆系方程，所以A在圆系方程代表的圆上。同理，B也在圆系方程代表的圆上。所以圆系方程代表过C1C2交点的圆的方程。要注意的是，这个圆系方程不包括C2。因为不管λ取多少，D1，E1，F1这些C1中的量都不可能去掉，所以表示不了C2。但可以表示C1，只要取λ=0。

已知圆a： x²+y²+d1x+e1y+f1 =0与圆b：x²+y²+d2x+e2y+f2=0， 方程：x²+y²+d1x+e1y+f1+λ(x²+y²+d2x+e2y+f2)=0 …… ①, 当λ≠-1 时，方程①表示过圆a与圆b的交点的圆系的方程，当λ=0时，表示圆a，但不能表示。