关于三角形“四心”的题目

1.若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形
2.（1）若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为a，b，c，则三角形的内切圆的半径是
（2）若直角三角形的三边长分别为a，b，c（c为斜边），则三角形的内切圆的半径是             
写过程，详细点

第一题

垂心是三条高的交点，重心是三条中线的交点，又因为次两点重合，所以三条高和三条中线重合，故通过证明三角形全等和得三边相等，即次三角形为正三角形，或者可以直接得，因为三条中线和三条高重合，这是正三角形的特性。

第二题

⑴设半径为R，设a边的切点到顶点的一段为x

则(b-x)+(a-x)=c……①；R(b-x)+R(a-x)+Rx=S……②

把①化简得x=(a+b-c)/2；再把x带入②中可得R=2S/(a+b+c)

⑵设半径为R

则两直角边与圆的切点到直角顶点的长度与半径R相等

所以可得(b-R)+(a-R)=c，所以R=(a+b-c)/2