已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，0＜f（x）＜1，且对于任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y

已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，0＜f（x）＜1，且对于任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．（1）求f（0）；（2）求证：f（x）＞0恒成立；（3）判断并证明函数f（x）在R上的单调性．

（1）令y=0，x=-1，得f（-1）=f（-1）f（0）…（2分）
∵x＜0时，0＜f（x）＜1，
∴f（-1）＞0…（3分）
∴f（0）=1…（5分）
（2）∵当x＜0时，0＜f（x）＜1
∴当x＞0，则-x＜0，令y=-x，得f（0）=f（x）f（-x）
得f(x)＝
1
f(?x) ＞0…（7分）
故对于任意x∈R，都有f（x）＞0…（8分）
（3）设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则x1-x2＜0，∴0＜f（x1-x2）＜1…（10分）
∴f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）f（x2）＜f（x2）…（12分）
∴函数f（x）在R上是单调递增函数…（13分）

(1) y=0时 f(x)=f(x)*f(0) 所以f(0)=1 当y=-x 且x>0时 f(x)>1>0 f(0)=f(x)*f(-x)=1 所以f(-x)>0 即x<0时 f(x)>0 综上：对于任意x属于r，恒有f（x）大于0 (2) 设有x2>x1 取x2=x+y x1=x 则y=x2-x1>0 f(x2-x1)>1 故f(x2)=f(x1)*f(x2-x1)>f(x1) 所以f(x)是单调递增函数 (3) f（x）小于1/f（x+1） 由(1)知f(x+1)>0 所以f(x)*f(x+1)<1 即f(x²+x)<1=f(0) 所以x²+x<0 解得-1<x<0