设f(x)在点x=0处可导,且f(0)=0,f’(0)≠0,又F(x）在点x=0处亦可导,证明：F[f(x)]在x=0处

设f(x)在点x=0处可导,且f(0)=0,f'(0)≠0,又F(x）在点x=0处亦可导,证明：F[f(x)]在x=0处可导.
要有正规过程

因为 f'(0)≠0,所以存在a>0,使得 如果 00.
于是：
lim(x-->0) (F[f(x)]-F[f(0)])/x=
lim(x-->0)(F[f(x)]-F[f(0)])/(f(x)-f(0)) * (f(x)-f(0))/x
=lim(f(x)-->0)(F[f(x)]-F[0])/(f(x)-0) * lim(x-->0)(f(x)-f(0))/x
=F'(0)*f'(0)
所以极限存在,即导数存在.