积化和差的证明方法

积化和差的证明方法

积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的手段来证明。
即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：
sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]
=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ）-(cosαcosβ+sinαsinβ）]
=-1/2[cos（α+β）-cos（α-β）]
其他的3个式子也是相同的证明方法。
（该证明法逆向推导可用于和差化积的计算，参见和差化积） 根据欧拉公式，e^ ix = cos x + isin x
令x=a+b i 为复数
得e ^ i(a+b)
=e ^ia * e ^ib
=(cos a+ isin a)(cos b+ isin b)
=cos acos b-sin asin b+ i(sin acos b+sin bcosa)
=cos(a+b)+i sin(a+b)
所以cos(a+b)=cos acos b-sin asin b
sin(a+b)=sin acos b+sin bcos a