R上的开映射是不是连续映射？也就是说如果定义在R上的函数 f 把任意开集映为开集，那么f是否一定连续？
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解决时间 2021-02-15 00:10
- 提问者网友：蓝琪梦莎
- 2021-02-14 05:33
可以从拓扑学的角度说也可以直接从数学分析角度说 都可以
求举反例
最佳答案
- 五星知识达人网友：山君与见山
- 2021-02-14 07:04
目前没想到简单的构造, 姑且用下面这种.
实数集R按照等价关系: x ~ y当且仅当x-y ∈ Q分成等价类.
由Q是可数集, 而R是不可数的, 等价类的基数也是不可数的.
实际上, 可以建立等价类与实数的一一对应.
定义函数f: R → R, 将每个等价类中的数映为与该等价类对应的实数.
于是对任意实数y, 集合{x | f(x) = y}在R中稠密.
可知f在任意非空开集上的值域都是R, f是开映射.
又f显然不连续, 即构成反例.
实数集R按照等价关系: x ~ y当且仅当x-y ∈ Q分成等价类.
由Q是可数集, 而R是不可数的, 等价类的基数也是不可数的.
实际上, 可以建立等价类与实数的一一对应.
定义函数f: R → R, 将每个等价类中的数映为与该等价类对应的实数.
于是对任意实数y, 集合{x | f(x) = y}在R中稠密.
可知f在任意非空开集上的值域都是R, f是开映射.
又f显然不连续, 即构成反例.
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- 1楼网友：猎心人
- 2021-02-14 08:37
函数 f 把任意开集映为开集叫做开映射，在线性泛函里，开的是有界映射，即连续，但一般的不成立，例如：y=xsin1/x，x不为0，
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