证明:e小于（1+1/n)的n+1次，有无好的证明方法

答案:4 悬赏:30 手机版

解决时间 2021-01-23 09:25

提问者网友：戎马万世
2021-01-22 19:14

如题，最好是大一学生能接受的解法

最佳答案

五星知识达人网友：独钓一江月
2021-01-22 20:33

如下方法不保证非常严谨,仅供参考:
因为Lim（1+1/n)^(n+1)=e
所以只要证明（1+1/n)^(n+1)递减即可
考查函数y=（1+1/x)^(x+1)
取对数求导得:
Y'/Y=-1/x+ln(1+1/x)
由于y>0
设f(x)=Y'/Y=-1/x+ln(1+1/x)
f'(x)=1/x^2+1/(X+1)-1/X=1/X^2(X+1)>0
所以F(X)单调增所以F(X)<F(X0)=0 (X0-->正无穷)
所以Y'<0
所以Y单调减(X>0) 所以对于N （1+1/n)^(n+1)递减
所以e<（1+1/n)^(n+1)

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1楼网友：神鬼未生
2021-01-22 23:10

因为Lim（1+1/n)^(n+1)=e 所以只要证明（1+1/n)^(n+1)递减即可考查函数y=（1+1/x)^(x+1) 取对数求导得: Y'/Y=-1/x+ln(1+1/x) 由于y>0 设f(x)=Y'/Y=-1/x+ln(1+1/x) f'(x)=1/x^2+1/(X+1)-1/X=1/X^2(X+1)>0 所以F(X)单调增所以F(X)<F(X0)=0 (X0-->正无穷) 所以Y'<0 所以Y单调减(X>0) 所以对于N （1+1/n)^(n+1)递减所以e<（1+1/n)^(n+1)

2楼网友：有你哪都是故乡
2021-01-22 21:57

单调有界数列的极限为它的上下确界中的一个，根据确界的定义可以证得。

3楼网友：西岸风
2021-01-22 20:59

由于[(n+1)/e]^n

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