求正13边形尺规作图法

求正13边形尺规作图法

不行
早在公元前三世纪，希腊数学家欧几里得就知道，用圆规和直尺可以作出正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等等。但能不能作出正七边形、正九边形、正十一边形、正十三边形、正十七边形呢？两千年来，谁也没有作到。可是一直有很多数学家在试作。数学家们认为总是能作出来的，谁也没有想一想或许用圆规和直尺根本作不出某些正多边形。

1796年3月30日德国戈丁根大学学生高斯用圆规和直尺，作出了正17边形。这下子解决了两千年来的一大难题。这是一个十分了不起的成就，还不满20岁的高斯，不仅作出了正十七边形，更可贵的是他还证明了单用圆规和直尺根本作不出正七边形、正九边形、正十一边形和正十四边形。他深入研究了多边形的规律，得出一个一般公式，清清楚楚地表示出哪些正多边形能作，哪些正多边形不能作。高斯就是这样，圆满周密地彻底解决了两千年来的一大难题。
这位了不起的青年学生，后来成了18、19世纪交替时期德国最杰出的数学家。

早在古希腊时代，人们就能够用直尺和圆规作出正三角形、正四边形、正五边形和正十五边形（以及它们的2n倍的正多边形），但对其它一些正多边形，如正七边形、正十一边形、正十三边形、正十七边形应当如何作图的问题，却长期困扰着数学家们。

1796年，正在哥廷根大学读书的19岁的高斯成功地给出了正十七边形的尺规作图法。不仅如此，后来他还证明了：对于边数是质数的正多边形，当且仅当其边数是形如2exp(2exp(n))+1的费尔玛质数时，才能用尺规作图。(exp表示指数)

这就是说，正七边形、正十一边形、正十三边形是不能用尺规作出的，因为7、11、13不是费尔玛质数，但是能作出正十七边形。高斯的成果解决了困扰人们两千多年的几何问题，震撼了全世界。

17以后的费尔玛质数是257和65537。后来有人真的给出了正257边形尺规作图法，长达80多页！一位名叫盖尔美斯的用尺规作出了正65537边形，其手稿有整整一只手提箱，现在还保存在哥廷根大学。

设：正17边形在单位圆上的顶点的复数表示为， zk=cos(2kж/17)+isin(2kж/17) (k=0,1,2…16) 若记：ρ=cos(2kж/17)+isin(2ж/17),则除了1以外的其余16个项为： ρ1 ρ2 ρ3 ρ4 ρ5 ρ6 ρ7 ρ8；ρ-1 ρ-2 ρ-3 ρ-4 ρ-5 ρ-6 ρ-7 ρ-8 若设 p=ρ+ρ2+。。。+ρ-8 q=ρ3+ρ5+…+ρ-7 则： p+q=ρ+ρ2+。。。+ρ8+ρ-1+ρ-2+。。。+ρ-8 =（1+ρ+ρ2+。。。+ρ8+ρ-1+。。。+ρ-8）-1 =-1 p*q=（ρ+ρ2+ρ4+ρ8+ρ1+ρ-2+ρ-4+ρ-8）*（ρ3+ρ5+ρ6+ρ7+ρ-3+ρ-5+ρ-6+ρ-7） =4（p+q） =-4 所以：p，q是方程 x*x+x-4=0的根 p=1/2（-1+gen2（17）） q=1/2（-1-gen2（17）） 显然p，q可以用尺规作出。 可见cos（2ж/17）可以用尺规作出。 作图的5个步骤： 1） 作出线段p，q 2） 作出线段 u1，u2 3） 作出线段 v1 4） 作出单位圆，并在实轴上去一点v，使ov=1/2v1， 过v作虚轴的平行线交单位圆与z1，则z0z1（z0=1），即为正17边形的一边。 5） 作出其余所有顶点，完成正17边形。。