m>n, a>b>0....比较(a^n+b^n)^m 和(a^m+a^m)^n 的大小。。。。。？？
答案:1 悬赏:40 手机版
解决时间 2021-12-03 22:10
- 提问者网友：轻浮
- 2021-12-02 22:20
m>n, a>b>0....比较(a^n+b^n)^m 和(a^m+a^m)^n 的大小。。。。。？？
最佳答案
- 五星知识达人网友：有你哪都是故乡
- 2021-12-02 22:32
这个不等式其实是在比较 (a^n+b^n)^(1/n)与(a^m+b^m)^(1/m)
两边都用a来除 用t表示b/a 则 问题等价于判断(1+t^x)^(1/x)关于x的递增or递减 考虑函数 ln[(1+t^x)^(1/x)]=(1/x)*ln(1+t^x) 对x求导 得出
-1/x^2*ln(1+t^x)+(1/x)*lnt*t^n/(1+a^n) 第一项小于0 而第二项里lnt<0,(因为t=b/a<1) 因此 整个式子小于0 所以(1+t^x)^(1/x) 是一个单调递减函数
而m>n， (a^n+b^n)^（1/n）>(a^m+b^m)^(1/m)
所以(a^n+b^n)^m>(a^m+b^m)^n
两边都用a来除 用t表示b/a 则 问题等价于判断(1+t^x)^(1/x)关于x的递增or递减 考虑函数 ln[(1+t^x)^(1/x)]=(1/x)*ln(1+t^x) 对x求导 得出
-1/x^2*ln(1+t^x)+(1/x)*lnt*t^n/(1+a^n) 第一项小于0 而第二项里lnt<0,(因为t=b/a<1) 因此 整个式子小于0 所以(1+t^x)^(1/x) 是一个单调递减函数
而m>n， (a^n+b^n)^（1/n）>(a^m+b^m)^(1/m)
所以(a^n+b^n)^m>(a^m+b^m)^n
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