一道由递推公式及累加法的等比数列习题

一道由递推公式及累加法的等比数列习题

由递推式求数列通项七例对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列. 类型1递推公式为 解法：把原递推公式转化为 ,利用累加法求解. 例1.已知数列 满足 ,求 . 由条件知： 分别令 ,代入上式得 个等式累加之,即 所以 又因为 所以 类型2递推公式为 解法：把原递推公式转化为 ,利用累乘法求解. 例2.已知数列 满足 ,求 . 由条件知 ,分别令 ,代入上式得 个等式累乘之,即 所以 又因为 ,所以 . 类型3递推公式为 （其中p,q均为常数, ）. 解法：把原递推公式转化为： 其中 ,再利用换元法转化为等比数列求解. 例3.已知数列 中, ,求 . 设递推公式 可以转化为 即 ,所以 故递推公式为 令 ,则 ,且 所以 是以 为首项,2为公比的等比数列,则 所以 类型4递推公式为 （其中p,q均为常数, ）. 解法：该类型较类型3要复杂一些.一般地,要先在原递推公式两边同除以 ,得： 引入辅助数列 （其中 ）,得： 再应用类型3的方法解决. 例4.已知数列 中, ,求 . 在 两边乘以 得： 令 ,则 应用例3解法得： 所以 类型5递推公式为 （其中p,q均为常数）. 解法：先把原递推公式转化为 其中s,t满足 ,再应用前面类型的方法求解. 例5.已知数列 中, ,求 . 由 可转化为 即 所以 解得： 或 这里不妨选用 （当然也可选用 ,大家可以试一试）,则 所以 是以首项为 ,公比为 的等比数列所以 应用类型1的方法,令 ,代入上式得 个等式累加之,即 又因为 ,所以 . 类型6递推公式为 与 的关系式. 解法：利用 进行求解. 例6.已知数列 前n项和 . （1）求 与 的关系；（2）求通项公式 . （1）由 得： 于是 所以 即 （2）应用类型4的方法,上式两边同乘以 得： 由 ,得： 于是数列 是以2为首项,2为公差的等差数列,所以 故 类型7双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解. 例7.已知数列 中, ；数列 中, .当 时, ,求 . 因 所以 即 又因为 所以 即 由、得：