1+2+4+8+16+32+64+128+…2∧（5n-1）能被31整除，求证
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解决时间 2021-02-27 23:19
- 提问者网友：ミ烙印ゝ
- 2021-02-27 13:10
1+2+4+8+16+32+64+128+…2∧（5n-1）能被31整除，求证
最佳答案
- 五星知识达人网友：毛毛
- 2021-02-27 13:19
先用等比数列求和得(2∧(5n))-1
即(32∧n)-1=(32-1)(32∧(n-1)+32∧(n-2)+...+1)=
31(...)
必然可被31整除
即(32∧n)-1=(32-1)(32∧(n-1)+32∧(n-2)+...+1)=
31(...)
必然可被31整除
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- 1楼网友：duile
- 2021-02-27 15:37
都写成2的几次方 (8^5n+2)*(32^3n-1)=(2^15n+6)(2^15n-5)=2^30n+1=6³√ ∏ (4^3n+2)*(16^10-1)*(64^5n)*(128^28)算下次数应为30n+1的倍数
- 2楼网友：舊物识亽
- 2021-02-27 14:17
式子明显为等比数列，首项为1，末项为2∧（5n-1），等比为2
按照等比数列的求和公式：
S=（a1-an*q)/(1-q)，其中a1为首项，an为末项，q为等比
代入，得
S=[1-2∧（5n-1）*2]/（1-2）
=2^(5n)-1
=（2^5)^(n)-1
=32^n-1
=(31+1)^n-1
=31^n + C(n,1)* 31^(n-1) + C(n,2)*31^(n-2) + …… + C(n,n-1)*31 + C(n,n) - 1
注意到，C(n,n) = 1, 所以
S= 31^n + C(n,1)* 31^(n-1) + C(n,2)*31^(n-2) + …… + C(n,n-1)*31
上式中，每项都含有31，所以S能被31整除
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