一道初三数学竞赛题（高悬赏）

解：由题意可知，√3x-4与3次√5-3x只能是两个有理数。理由如下：1、如果两个都是无理数，相加要得到有理数，那么这两个无理数只能是互为相反数，而互为相反数的两个无理数相加为0，不等于1，显然不合题意；2、如果是一个无理数和一个有理数，它们相加也不会得到有理数，也不合题意；3、故√3x-4与3次√5-3x只能是两个有理数。

不妨设3x-4=A²，即4-3x=- A²，那么5-3x=1+（4-3x）=1-A² , √3x-4=√A²=A(由题意可知3x-4≧0)，则有A+3次√1-A²=1，移项得3次√1-A²=1-A，两边同时立方，得1-A²=(1-A)³，那么（1+A）(1-A）=(1-A)³。分类讨论：1、1-A=0，即A=1，3x-4=1，得x=5/3；2、1-A≠0. （1+A）(1-A）=(1-A)³两边同时除以1-A得1+A=(1-A)²，解得A=0或者A=3，得x=4/3或者x=13/3。综上：符合题意的实数x的和为5/3+4/3+13/3=22/3

3x-4=0

x=4/3

5-3x4/3=1

3x-4=1

x=5/3

5-3x5/3=0

4/3+5/3=3

我算出来也得6 哦 (⊙o⊙)！

令3次根号下（5-3x)=t 则5-3x=t的三次方

则3x-4=1-t的三次方

所以原方程变为 根号下（1-t的三次方）+t=1

根号下（1-t的三次方）=1-t

两边同时平方可去掉根号 得 1-t的三次方=（1-t）的三次方

方程可解得 t=0或1 即x=4/3或5/3

所以 满足条件的实数x的和为3

答：令 √（3x-4）=t

原方程就可以转化为t+（1-t^2)^(1/3)=1

(1-t^2)^(1/3)=1-t

两边3次方可得：1-t^2=(1-t)^3

简化后可得：t^3-3t^2+2t=0

可得t=0，1，2

代入√（3x-4）=t，可得X=4/3，5/3，8/3

实数X的和为17/3

6，答案为6