用归纳原理证明最小数原理

用归纳原理证明最小数原理

广义的最小数原理是：有限个实数中，必有一个最小的数。而对于自然数，自然数集的任意非空子集必有最小数，这是最小自然数原理。以下用归纳原理证明广义的最小数原理：
当有限实数集合中只有一个元素时，显然这个元素就是最小数。
当有限实数集合中有两个元素时，令该集合为M2={a1,a2}，根据集合的互异性知a1≠a2，即有a1>a2或a2>a1 ，表明集合M2中的最小数为min{a1,a2}。
假设有限实数集合中有n个元素，令该集合为Mn={a1,a2,...an}，且有最小数min{a1,a2,...an}，则对于n+1个元素的有限实数集Mn+1，由于Mn+1={a1,a2,...an,an+1}={a1,a2,...an}U{an+1}（显然{a1,a2,...an}∩{an+1}=Ф），而集合{a1,a2,...an}有最小数min{a1,a2,...an}，an+1必与min{a1,a2,...an}存在最小数min{min{a1,a2,...an},an+1}
因此，有限个实数中，必有一个最小的数。