双曲线x^2-y^2/3=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为右支上一点，向量PA1*PF2最小值
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解决时间 2021-03-23 04:50
- 提问者网友：美人性情
- 2021-03-22 16:05
双曲线x^2-y^2/3=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为右支上一点，向量PA1*PF2最小值
最佳答案
- 五星知识达人网友：笑迎怀羞
- 2021-03-22 16:24
解：
双曲线：x²-y²/3=1
a=1，b=√3，c=2，e=c/a=2
∴A1(-1,0)，F2(2,0)
可设P(m，n)
P在双曲线右支上，m²-n²/3=1，且m≥a=1，得n²=3(m²-1)
向量PA1·向量PF2
=(-1-m,-n)·(2-m,-n)
=(m+1)(m-2)+n²
=m²-m-2+3m²-3
=4m²-m-5
此函数图象开口向上，对称轴为m=1/8
∵m≥1
∴在m的范围（1，+∞）内是增函数，
∴m=1时取得最小值，此时P在右顶点处
最小值为4-1-5=-2
谢谢
双曲线：x²-y²/3=1
a=1，b=√3，c=2，e=c/a=2
∴A1(-1,0)，F2(2,0)
可设P(m，n)
P在双曲线右支上，m²-n²/3=1，且m≥a=1，得n²=3(m²-1)
向量PA1·向量PF2
=(-1-m,-n)·(2-m,-n)
=(m+1)(m-2)+n²
=m²-m-2+3m²-3
=4m²-m-5
此函数图象开口向上，对称轴为m=1/8
∵m≥1
∴在m的范围（1，+∞）内是增函数，
∴m=1时取得最小值，此时P在右顶点处
最小值为4-1-5=-2
谢谢
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