已知椭圆x^2 /a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个顶点为B(0,-2),斜率为1的直线过它的右焦点F且与椭圆相交于B,P

已知椭圆x^2 /a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个顶点为B(0,-2),斜率为1的直线过它的右焦点F且与椭圆相交于B,P
①求椭圆C的方程
②求线段PB的长

①求椭圆C的方程
显然得出b=2，
由于直线BP的斜率K=1，
故作图可知c=b=2，a=2√2
椭圆C的方程为x^2 /8+y^2/4=1
②求线段PB的长
PB方程为y=x-2
设P（x，y）,过F作FM垂直于x轴，垂足M
由焦半径公式得|FP|= a-ex=2√2-√2/2x
|FM|=x-c=x-2
因∠PFM=45°
则|PF|=√2|FM|
即2√2-√2/2x=√2（x-2）
x=8/3
所以|FP|= 2√2-√2/2*8/3= 2√2-4√2/3=2√2/3
|BP|=|BF|+|FP|=2√2+2√2/3=8√2/3

解：由已知得 fq=b^2/a，mf=(a^2/c)-c， 因为椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于p、q两点， 椭圆的右准线与x轴交于点m，若△pqm为正三角形， 所以tan30°=根号3\3=fq/mf=(b^2/a)/[(a^2/c)-c]=c/a=e 所以e=根号3/3， 故答案为：根号3/3． (本题重在先求出fq 的长，直角三角形fmq中，由边角关系得 tan30°=fq/mf，建立关于离心率的方程，解方程求出离心率的值)