2010全国卷2 数学文 答案

2010全国卷2 数学文 答案

参考答案

一、选择题

1—6  CABDCC  7—12  ADBBDB

二、填空题

13．-   14．84  15．2  16．3

三、解答题

（17）解：

由

由已知得

从而  

由正弦定理得

所以

（18）解：

   （I）设公比为q，则 ，由已知有

    …………3分

化简得

又

所以    …………6分

   （II）由（I）知

    …………8分

因此

    …………12分

  19．解法一

   （I）连结A₁B，记A₁B与AB₁的交点为F。

因为面AA₁B₂B为正方形，故A₁B⊥AB₁，且

AF=FB₁，又AE=3EB₁，所以FE=EB₁，又D

为BB₂的中点，故DE//BF，DE⊥AB₁。…………3分

作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点。

又由底面ABC⊥面AA₂B₁B，得CG⊥面AA₁B₁B，

连结DG，则DG//AB₂，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥∠∑。

所以DE为异面直线AB₁与CD的公垂线。    …………6分

   （II）因为DG//AB₁，故 为异面直线AB₁与CD的夹角，

，

设AB=2，得

作B₂H⊥A₁C₁，H为垂足，因为底面A₁B₁C₁⊥面AA₁C₁C，故B₁H⊥面AA₂C₂C，

又作HK⊥AC₁，K为垂足，连结B₂K，由三垂线定理，得

因此 为二面角A₁—AC₁—B₁的平面角。    …………9分

所以二面角    …………12分

解法二：

   （I）以B为坐标原点，射线BA为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系B—xyz，

设AB=2，则A（2，0，0），B₁（0，2，0），D（0，1，0），

又设C（1，0，c），则 …………3分

于是

故 ，

所以DE为异面直线AB₁与CD的公垂线。    …………6分

   （II）因为 等于异面直线 与CD的夹角。

故 ,

即

解得

又

所以    …………9分

设平面AA₁C₁的法向量为

则

即

令

设平面AB₂C₂的法向量为

则

即

令

所以

由于 等于二面角A₁—AC₁—B₁的平面角，

所以二面角A₁—AC₁—B₁的大小为    …………12分

（20）解：

记A_i表示事件，电流能通过

A表示事件： 中至少有一个能通过电流，

B表示事件：电流能在M与N之间通过。

   （I） 相互独立，

   

又

故

   （II）

   

   

   

   

       …………12分

（21）解：

   （I）当a=2时，

       …………2分

    当 时 单调递增；

    当 单调减少；

    当 单调增加.

    综上， 的单调增区间是

    的单调减区间是    …………6分

   （II）

    当 为增函数，故 无极值点…………8分

    当 有两个根

   

    由题意知，

       ①

    或

       ②

    ①式无解，②式的解为

    因此a的取值范围是    …………12分

（22）解：

   （I）由题设知， 的方程为    …………2分

    代入C的方程，并化简，得

   

    设 ，

    则    ①

    由 为BD的中点知 故

   

    即    ②

    故   

    所以C的离心率    …………6分

   （II）由①、②知C的方程为：

   

    故不妨设

   

   

       …………9分

又

故

解得 （舍去）

故

连结MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，从而

MA=MB=MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆主，MA

为半径的圆经地A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，

所以过A、B、D三点的圆与x轴相切。    …………12分

 图片打不出来 没办法